Question

ஒரு முக்கோணத்தின் இருசம வெட்டிகள் ஒரு புள்ளியின் வழியாக செல்லும் என காட்டுக

Answer 1

ΔABC என்பது முக்கோணம் பக்கங்கள் AB, BC மற்றும் CA அதன் புள்ளிகள் F, D மற்றும் E என்பவை முறையே.

தீர்வு:

O என்பது ΔABC உட்பக்கத்தில் ஏதேனும் ஓர் புள்ளி.

ΔBOC ல்

இங்கு, OD∠BOCல் இருசமவெட்டி,

$\frac{OB}{OC}=\frac{B D}{D C}$ ------ (1)

ΔAOBல்,

OF ∠AOB ல் இருசமவெட்டி

$\frac{O A}{OB}=\frac{a F}{F B}$ -------- (2)

ΔAOCல்,

OE ∠AOC

$\frac{O C}{O A}=\frac{C E}{A E}$ ----- (3)

(1) , (2) மற்றும் (3)

$\begin{aligned}&\begin{array}{l}\frac{O B}{PO C} \times \frac{O A}{O B} \times \frac{O C}{O A}=\frac{B D}{D C} \times \frac{A F}{F B} \times \frac{C E}{A E} \\\\1=\frac{B D}{D C} \times \frac{A F}{F B} \times \frac{C E}{A E}\end{array}\\&\frac{B D}{D C} \times \frac{A F}{F B} \times \frac{C E}{A E} \quad-\ldots \ldots(4)\end{aligned}$

இப்பொழுது,

$\frac{AB}{A C}=\frac{B D}{D C}, \frac{A B}{B C}=\frac{C E}{E A}, \frac{C A}{C B}=\frac{A F}{F B}$

(4) லிருந்து,

$\frac{A B}{A C} \times \frac{A B}{B C} \times \frac{C A}{C B}=\frac{B D}{D C} \times \frac{C E}{E A} \times \frac{A F}{F B}$

$\frac{A B}{A C} \times \frac{A B}{B C} \times \frac{C A}{C B}=1$

ஆகவே AD, BE மற்றும் CF ∠A, ∠B மற்றும்∠C யின் இருசமவெட்டிகள்.

O என்பது நடுக்கோட்டு மையம்.

∴ ஒரு முக்கோணத்தின் இருசமவெட்டிகள் ஒரு புள்ளிகள் வழியாகச் செல்லும் இவை நிரூபிக்கபட்டது.  

கீழ்காணும் படத்தைக் காணவும்.