Question

1 2
3. Use Cayley - Hamilton theorem, to obtain A^4 - 4A^3 - 5A^2 + A+ 2I when A =(1. 2
4. 3)​

Answer 1

$\textbf{Given:}$

$\mathsf{A=\left(\begin{array}{cc}1&2\\4&3\end{array}\right)}$

$\textbf{To find:}$

$\mathsf{A^4-4A^3-5A^2+A+2I}$

$\textbf{Solution:}$

$\textbf{Cayley-Hamilton theorem:}$

$\boxed{\textsf{Every square matrix satisfies its characteristic equation}}$

$\textsf{The charateristic equation of A is}$

$\mathsf{|A-mI|=0}$

$\mathsf{\left|\left(\begin{array}{cc}1&2\\4&3\end{array}\right)-m\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right)\left|=0}$

$\mathsf{\left|\left(\begin{array}{cc}1&2\\4&3\end{array}\right)-m\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right)\right|=0}$

$\mathsf{\left|\begin{array}{cc}1-m&2\\4&3-m\end{array}\right|=0}$

$\implies\mathsf{(1-m)(3-m)-8=0}$

$\implies\mathsf{m^2-4m+3-8=0}$

$\implies\boxed{\mathsf{m^2-4m-5=0}}$

$\textsf{Using Cayley-Hamilton theorem, we get,}\;\mathsf{A^2-4A-5I=\bf\,0}$........(1)

$\mathsf{Now,}$

$\mathsf{A^4-4A^3-5A^2+A+2I}$

$\mathsf{=A^2(A^2-4A-5AI)+A+2I}$

$\mathsf{=A^2(\bf\,0)+A+2I}$

$\mathsf{=\bf\,0+\left(\begin{array}{cc}1&2\\4&3\end{array}\right)+2\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right)}$

$\mathsf{=\left(\begin{array}{cc}1&2\\4&3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}2&0\\0&2\end{array}\right)}$

$\mathsf{=\left(\begin{array}{cc}3&2\\4&5\end{array}\right)}$

$\implies\boxed{\mathsf{A^4-4A^3-5A^2+A+2I=\left(\begin{array}{cc}3&2\\4&5\end{array}\right)}}$

Answer 2

(970658064004)905478903