Question

1.
बैसल असमिका कथन लिखकर सिद्ध कीजिए।
State and prove Bessel's inequality​

Answer 1

Explanation:

fajkd msjsbks mnsbzkz ksnhsk smnxkx

Answer 2

बैसल असमिका :

विवरण :

• गणित में, विशेष रूप से कार्यात्मक विश्लेषण, बेसेल की असमानता एक ऑर्थोनॉर्मल अनुक्रम के संबंध में हिल्बर्ट अंतरिक्ष में एक तत्व x के गुणांक के बारे में एक बयान है।
• असमानता एफडब्ल्यू बेसेल द्वारा 1828 में निकाली गई थी।

सबूत :

• लेम्मा 1: मान लीजिए कि H एक आंतरिक उत्पाद स्थान है यदि {e1,e2...,en} एक लम्बवत समुच्चय है तो सभी h∈H के लिए :

       $\displaystyle \sum^{n}_{k = 1} <e_{k},h>^2 \leq ||h||^{2}$

• माना लेना:

      $\displaystyle g = \sum^{\infty}_{k = 1} <e_{k}, h>e_{k}$

• फिर

        $\displaystyle ||g||^{2} = <g,g>\\\ \ \ \ \ \ \ =<\sum^{\infty}_{k = 1} <e_{k}, h>e_{k}, \sum^{\infty}_{k = 1} <e_{k}, h>e_{k}>\\ = \sum^{n}_{k = 1} <e_{k}, h>||e_{k}||^{2}\\= \sum^{n}_{k = 1} <e_{k}, h>$

• अब उपरोक्त गणना, हमें अचानक क्यों मिलता है कि हम के बजाय n से अधिक का योग करते हैं|

          ∀h∈H

         $\displaystyle \begin{aligned}0 &\leq||h - g||^{2} = ||h||^{2} - 2 <h,g> + ||g||^{2}\\&= ||h||^{2} - 2<h,\sum^{\infty}_{k = 1} <e_{k}, h>e_{k}> + ||g||^{2}\\&= ||h||^{2} -2 \sum^{\infty}_{k = 1} <e_{k}, h>^{2} + ||g||^{2}\\&= ||h||^{2} - 2||g||^{2} + ||g||^{2}\\&= ||h||^{2} - ||g||^{2}\\&\implies ||g||^{2} \leq ||h||^{2}\\&\implies \sum^{n}_{k=1} <e_{k}, h>^{2} \leq ||h||^{2}\end{aligned}$

• फिर से हमें से योग क्यों मिलता है अचानक n . हो जाता है |

• और यह कैसे असमानता का सबूत दे सकता है मेरा मतलब है कि एलएचएस के आसपास कोई पूर्ण मूल्य नहीं है |