1. Express sin 2 A and cos 2 A in terms of tan A.
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Answer:
sin 2A = 2tan A / (1 + tan²A)
cos 2A = (1 - tan²A) / (1 + tan²A)
Step-by-step explanation:
(i) sin 2A = sin (A+A) = sin A cos A + cos A sin A
[∵ sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B]
⇒sin 2A = 2sin A cos A
= 2sin A cosA*cosA/cosA [Multiply and dividing cos A]
= 2sin A/cos A * cos²A
= 2tan A * cos²A [∵sinA/cosA = tanA]
= 2tan A/sec²A [∵cosA = 1/secA ⇒ cos²A = 1/sec²A]
= 2tan A / (1 + tan²A) [∵sec²A-tan²A = 1 ⇒ sec²A = 1+tan²A]
∴sin 2A = 2tan A / (1 + tan²A)
(ii) cos 2A = cos (A + A)
= cos A cos A - sin A sin A
[∵ cos (A + B) = cos A cos B - sin A sin B]
⇒cos 2A = cos²A - sin²A
= (cos²A - sin²A)* (sec²A)/(sec²A) [Mulitply and dividing sec²A]
= (cos²A*sec²A - sin²A*sec²A) / sec²A
= (1 - tan²A) / sec²A [∵cosA = 1/secA ⇒ cosA*secA = 1
sinA/cosA = tan A ⇒ sinA*secA = tanA]
= (1 - tan²A) / (1 + tan²A) [∵sec²A-tan²A = 1 ⇒ sec²A = 1+tan²A]
∴cos 2A = (1 - tan²A) / (1 + tan²A)