Question

1.Prove :

(1 - sin A)/(1 + sin A)  =  (sec A - tan A)2

2.Prove :

(tan θ + sec θ - 1)/(tan θ - sec θ + 1) = (1 + sin θ)/cos θ
​

Answer 1

Question ❶:

Let A  =  (1 - sin A)/(1 + sin A) and B  =  (sec A - tan A)².

↠A  =  (1 - sin A) / (1 + sin A)

↠A  =   (1 - sin A)² / (1 - sin A) (1 + sin A)

↠A  =  (1 - sin A)² / (1 - sin²A) 

↠A  =  (1 - sin A)² / (cos²A)

↠A  =  (1 - sin A)² / (cos A)²

↠A  =  {(1 - sin A) / cos A}²

↠A  =  {(1/cos A) - (sin A/cos A)}²

↠A  =  (sec A – tan A)²

↠A  =  B  (Proved)

Question ❷:

Let A  =  (tan θ + sec θ - 1)/(tan θ - sec θ + 1)  and 

B  =  (1 + sin θ)/cos θ.

↠A  =  (tan θ + sec θ - 1)/(tan θ - sec θ + 1)

↠A  =  [(tan θ + sec θ) - (sec2θ - tan2θ)]/(tan θ - sec θ + 1)

↠A  =  {(tan θ + sec θ) (1 - sec θ + tan θ)}/(tan θ - sec θ + 1) 

↠A  =  {(tan θ + sec θ) (tan θ - sec θ + 1)}/(tan θ - sec θ + 1)

↠ A  =  tan θ + sec θ

↠A  =  (sin θ/cos θ) + (1/cos θ)

↠A  =  (sin θ + 1)/cos θ

↠A  =  (1 + sin θ)/cos θ

↠A  =  B,   (Proved)