Question

1) सिद्घ कीजिए कि (√3 -√2) एक अपरिमेय संख्या है ।

2) सिद्घ कीजिए कि (√3+√5) एक अपरिमेय संख्या है ।

Given answers in Hindi Only:-)​

Answer 1

1) सिद्घ कीजिए कि (√3 -√2) एक अपरिमेय संख्याहै ।

उत्तर :

इसपर विचार करें :

$\sqrt{3} - \sqrt{2}$ as ($\sf \dfrac{a}{b})$ एक परिमेय संख्या है।

अब, दोनों पक्षों को वर्ग,

$\sf \implies b^2 + 3 - 2\sqrt{6} = \dfrac{a^2}{b^2}$

$\sf \implies 5 - 2\sqrt{6} = \dfrac{a^2}{b^2}\;is\;a\;rational\;number.$

इसलिए,

$\sf 2\sqrt{6} = 5- \dfrac{a^2}{b^2}$

इसलिए,

$\sf 2\sqrt{6}$ & $\sf 5- \dfrac{a^2}{b^2}$ एक परिमेय संख्या है।

इसलिए, हमारी धारणा गलत है।

•°• (3 - √2) एक अपरिमेय संख्या है

$\rule{300}{1.5}$

2) सिद्घ कीजिए कि (√3+√5) एक अपरिमेय संख्या है ।

उत्तर :

इसपर विचार करें :

√3 + √5 एक तर्कसंगत संख्या हो, अगर यह आर है

इसलिए, √3 + √5 = r

अब, दोनों पक्षों को वर्ग,

>> (√3 + √5)2 = r²

>> 3 + 2 √15 + 5 = r²

>> 8 + 2 √15 = r²

>> 2 √15 = r² - 8

√15 = $\sf \dfrac{r^2 - 8}{2}$

•°• $\bf \dfrac{r^2 - 8}{2}$ एक परिमेय संख्या है√15 एक अपरिमेय संख्या है।

चूंकि एक तर्कसंगत संख्या एक अपरिमेय संख्या के बराबर नहीं हो सकती है। हमारी धारणा है कि )√+3 + √5) तर्कसंगत है।

Answer 2

1) मान लेते हैं कि (√3 -√2) एक परिमेय संख्या है।

$\sf{\sqrt{3}-\sqrt{2}=\dfrac{p}{q} }$  

(जहाँ p और q सह-प्रधान पूर्णांक हैं और q ≠ 0)

√2 को RHS में ले जाना :-

$\displaystyle{\sf{\implies \sqrt{3}=\frac{p}{q}+\sqrt{2} }}\\\\\displaystyle{\sf{\implies \sqrt{3}=\frac{p+\sqrt{2}q }{q} }}$

दोनों पक्षों को चुकता(squaring) करना :-

$\displaystyle{\sf{\implies (\sqrt{3})^2=\bigg(\frac{p+\sqrt{2} q}{q}\bigg)^2 }}\\\\\displaystyle{\sf{\implies 3=\frac{p^2+2q^2+2\sqrt{2}pq }{q^2} }}\\\\\displaystyle{\sf{\implies 3q^2=p^2+2q^2+2\sqrt{2}pq }}\\\\\displaystyle{\sf{\implies 3q^2-2q^2-p^2=2\sqrt{2}pq }}\\\\\displaystyle{\sf{\implies \frac{q^2-p^2}{2pq}=\sqrt{2} }}$

हम जानते है, p, 2  तथा q तर्कसंगत पूर्णांक हैं |  तब LHS तर्कसंगत है।  लेकिन हम जानते हैं, √2  एक अपरिमेय संख्या है।  इसलिए, हमारी धारणा गलत है। (√3 -√2) एक अपरिमेय संख्या है।

$\underline{\rule{200}{2.5}}$

2) मान लेते हैं कि (√3+√5) एक परिमेय संख्या है।

$\sf{\sqrt{3}+\sqrt{5}=\dfrac{p}{q} }$

(जहाँ p और q सह-प्रधान पूर्णांक हैं और q ≠ 0)

√5 को RHS में ले जाना :-

$\displaystyle{\sf{\implies \sqrt{3}=\frac{p}{q}-\sqrt{5} }}\\\\\displaystyle{\sf{\implies \sqrt{3}=\frac{p-\sqrt{5}q }{q} }}$

दोनों पक्षों को चुकता(squaring) करना :-

$\displaystyle{\sf{\implies (\sqrt{3})^2=\bigg(\frac{p-\sqrt{5} q}{q}\bigg)^2 }}\\\\\displaystyle{\sf{\implies 3=\frac{p^2+5q^2-2\sqrt{5}pq }{q^2} }}\\\\\displaystyle{\sf{\implies 3q^2=p^2+5q^2-2\sqrt{5}pq }}\\\\\displaystyle{\sf{\implies 3q^2-5q^2-p^2=-2\sqrt{5}pq }}\\\\\displaystyle{\sf{\implies \frac{-2q^2-p^2}{-2pq}=\sqrt{5} }}\\\\\displaystyle{\sf{\implies \frac{2q^2+p^2}{2pq}=\sqrt{5} }}$

हम जानते है, p, 2  तथा q तर्कसंगत पूर्णांक हैं |  तब LHS तर्कसंगत है।  लेकिन हम जानते हैं, √5  एक अपरिमेय संख्या है।  इसलिए, हमारी धारणा गलत है। (√3+√5) एक अपरिमेय संख्या है।