Question

1 + sin x + cosx / 1 + cosx - sin x = 1 + sinx /cosx

Prove it.​

Answer 1

Answer:

Dividing and multiplying by cosx

secx+1−tanx

secx+1+tanx

secx+1−tanx

secx+tanx+sec

2

x−tan

2

x

secx+1−tanx

secx+tanx+(secx−tanx)(secx+tanx)

secx+1−tanx

secx+tanx(secx−tanx+1)

secx+tanx

cosx

1

+

cosx

sinx

=

cosx

1+sinx

Answer 2

Given:

$\dfrac{1+\sin x + \cos x}{1 - \sin x + \cos x} \:=\:\dfrac{1+\sin x}{\cos x}$

To Prove:

LHS = RHS

Answer:

Taking LHS,

$\dfrac{(1 + \cos x) + \sin x }{(1 + \cos x) - \sin x} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \dfrac{(1 + \cos x) + \sin x }{(1 + \cos x) - \sin x} \times \dfrac{(1 + \cos x) + \sin x }{(1 + \cos x) + \sin x} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\\sf{using \: (x + y)(x - y) = {x}^{2} - {y}^{2}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\\sf{ and {(x + y)}^{2} = {x}^{2} + {y}^{2} + 2xy } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\\\ \dfrac{((1 + \cos x) + \sin x )^{2} }{(1 + \cos x)^{2} - \sin^{2} x} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \dfrac{(1 + \cos x)^{2} + \sin^{2} x + 2 \sin x(1 + \cos x)}{1 + \cos^{2} x + 2 \cos x- \sin^{2} x} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \dfrac{ \sin^{2} x + { \cos}^{2}x + 1 + 2 \sin x + 2 \cos x + 2 \sin \: x \cos x }{1 - { \sin}^{2}x + { \cos }^{2} x + 2 \cos \: x}$

$\dfrac{\not{2}(1 + \sin \: x + \cos x + \sin \: x \cos \: x )}{\not{2}( \cos x + { \cos}^{2}x )} \\ \\ \dfrac{1(1 + \sin x) + \cos x(1 + \sin x)}{ \cos x(1 + \cos x)} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \dfrac{(1 + \cos x) (1 + \sin x )}{(1 + \cos x)( \cos x)} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \dfrac{1+ \sin x }{\cos x} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Hence Proved