Question

1/sinA + cosA+1/sinA-cosA=2sinA/1-2cosA

Answer 1

$\red{ \huge{ \underline{ \overline{ \mid{\bold{ \purple{ \: \: \: SOLUTION \: \: \: \red {\mid}}}}}}}}$

$\bold{ \frac{1}{sin \: A\: + \: cos \: A} + \frac{1}{sin \: A \: - \: cos \: A} } \\ \\ \\ \underline{ \bold{ \: \: \: Taking \: \: \: L.C.M.\: \: \: we \: \: \: get ,\: \: \: }} \\ \\ \\ \bold{ \: \: \frac{1 \times (sin \: A \: - \: cos \: A) \: + \:1 \times ( sin \: A \: + \: cos \: A) \: \: }{(sin \: A\: + \: cos \: A)(sin \: A \: - \: {cos \: A)}} } \\ \\ \\ \bold{ = \frac{ \: \: sin \: A \: - \: \cancel{cos \: A }\: + \: sin \: A\: + \: \cancel{cos \: A} \: \: }{sin {}^{2} \: A\: - \: cos {}^{2} \: A} } \\ \\ \\ \bold{ = \frac{ \: sin \: A \: + \: sin \: A\: }{ \: \: sin {}^{2} \: A \: - \: cos {}^{2} \: A \: \: } } \\ \\ \\ \bold{ = \frac{2 \: sin \: A}{ \: \: sin {}^{2} \: A \: - \: cos {}^{2} \: A \: \: } }$

$\bold{So,} \\ \\ \bold{ \frac{1}{ \: sin \: A\: + \: cos \:A \: } \: + \: \frac{1}{sin \: A \: - \: cos \:A } } \\ \\ \\ \bold{ = \frac{2 \: sin \: A}{ \: \: sin {}^{2} \: A \: \: - \: \: cos \: A \: \: } }$

$\huge{ \underline{ \bold{ \: \: We \: \: know \: \: that \: \: }}} \\ \\ \boxed{ \bold{ \: \: sin {}^{2} \: A \: = \: 1 \: - \: cos {}^{2} \: A }}$

$\bold{ \therefore \: \: \: \frac{2 \: sin \: A}{sin {}^{2} \: A \: - \: cos {}^{2} \:A } } \\ \\ \\ \bold{ = \frac{2 \: sin \: A}{ \: \: 1 \: - \: cos {}^{2} \: A \: - \: cos {}^{2} \: A \: \: } } \\ \\ \\ \bold{ = \frac{ \: \: 2 \: sin \: A}{1 - 2 \: cos {}^{2} \: A \: \: } }$

$\bold{Hence,} \\ \\ \boxed{ \boxed{\bold{ \red{ \frac{1}{sin \: A \: + \: cos \: A} \: + \: \frac{1}{sin \: A \: - \: cos \: A} = \frac{2 \: sin \: A}{1 - 2 \: cos{}^{2} \: A} }}}}$

Answer 2

SOLUTION

$L.H.S.= \frac{1}{sin \: A+ \: cos \: A} \: + \frac{1}{sin \: A- cos \: A} \\ \\ = \frac{sin \: A - cos\: A + sin \: A+ cos\: A}{(sin \: A+ cos \: A)(sin \: A- cos \: A)} \\ \\ = \frac{sin \: A \: + \: sin \: A}{sin {}^{2} A - cos {}^{2}A } \\ \\ = \frac{2 \: sin \:A }{sin {}^{2} A- cos {}^{2} A} \\ \\ = \frac{2 \: sin \: A\: }{1 - cos {}^{2} A - cos {}^{2}A } \: \: \: \: \: \: \: \: [As \: \: \: sin {}^{2}A= 1 - cos {}^{2} A] \\ \\ = \frac{2 \: sin \: A}{1 \: - 2 \: cos {}^{2} A} \\ \\ = R.H.S. \\ \\ \\ \underline{\: \: Hence \: \: proved \: \:}$