(1-tan0/1-cot0)²=tan²0
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LHS = tanO/(1-cotO) + cotO/(1-tanO)
= \begin{gathered} \frac{ \frac{sinO}{cosO} }{1- \frac{cosO}{sinO} } +\frac{ \frac{cosO}{sinO} }{1- \frac{sinO}{cosO} } \\ =\frac{ \frac{sinO}{cosO} }{ \frac{sinO-cosO}{sinO} } +\frac{ \frac{cosO}{sinO} }{ \frac{cosO-sinO}{cosO} } \\ = \frac{sin^2O}{cosO(sinO-cosO)} + \frac{cos^2O}{sinO(cosO-sinO)} \\ = \frac{sin^2O}{cosO(sinO-cosO)} - \frac{cos^2O}{sinO(sinO-cosO)} \\ = \frac{sin^3O-cos^3O}{sinOcosO(sinO-cosO)} \\ =\frac{(sinO-cosO)(sin^2O+cos^2O+sinOcosO)}{sinOcosO(sinO-cosO)} \\ = \frac{1+sinOcosO}{sinOcosO} \\ \end{gathered}
1−
sinO
cosO
cosO
sinO
+
1−
cosO
sinO
sinO
cosO
=
sinO
sinO−cosO
cosO
sinO
+
cosO
cosO−sinO
sinO
cosO
=
cosO(sinO−cosO)
sin
2
O
+
sinO(cosO−sinO)
cos
2
O
=
cosO(sinO−cosO)
sin
2
O
−
sinO(sinO−cosO)
cos
2
O
=
sinOcosO(sinO−cosO)
sin
3
O−cos
3
O
=
sinOcosO(sinO−cosO)
(sinO−cosO)(sin
2
O+cos
2
O+sinOcosO)
=
sinOcosO
1+sinOcosO
= [1 +(1/cosecOsecO)]/[1/cosecOsecO]
=[(cosecOsecO+1)/cosecOsecO]*[cosecOsecO]
=cosecOsecO+1
=RHS
Hence proved
If you've doubt dont hesitate to ask