Question

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Answer 1

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Answer 2

$\bf{ \sqrt{ \frac{1 + sin \: a}{1 - sin \: a} } \: \: - \: \sqrt{ \frac{1 - sin \: a}{1 + sin \: a} } = 2 \: tan \: a}$


$\boxed{\textbf{Rationalising the Denominator}}$


$\bf{\sqrt{ \frac{1 + sin \: a}{1 -sin \: a} \times \frac{1 + sin \: a}{1 + sin \: a} } }$



$= \bf{ \sqrt{ \frac{(1 + sin \: a) {}^{2} }{ {1}^{2} - sin {}^{2} a } } }$



$= \bf{ \sqrt \frac{{(1 + sin \: a) {}^{2} }}{cos {}^{2} \: a } }$


$= \bf{ \frac{1 + sin \: a}{cos \: a \: } - - - - (1)}$


$\bf \sqrt{ \frac{1 - sin \: a}{1 + sin \: a} \times \frac{1 - sin \: a}{1 - sin \: a} }$


$= \bf{ \sqrt{ \frac{(1 - sin \: a) {}^{2} }{1 {}^{2} - sin {}^{2} a} } }$


$= \bf{ \frac{1 - sin \: a}{ cos \: a} - - - - (2)}$


$\boxed{\textbf{From equation 1 and 2 }}$


$\bf{ \frac{1 + sin \: a}{cos \: a} - \frac{1 - sin \: a}{cos \: a \: } = 2 \: Tan \: a }$


$= > \bf{ \frac{1 + sin \: a - (1 - sin \: a)}{cos \: a} = 2 \: tan \: a}$


$= > \bf{ \frac{1 + sin \: a - 1 + sin \: a}{cos \: a} = 2 \: Tan \: a }$


$= > \bf{ \frac{2 \: sin \: a}{cos \: a} = 2 \: Tan \: a}$


$= > \bf{2 \times \frac{sin \: a}{cos \: a} \: = 2 \: Tan \: a }$


$= > \bf{2 \: Tan \: a = 2 \: Tan \: a}$


$\bf{LHS = RHS }$

$\boxed{\textbf{Hence proved }}$

_____________________________


$\underline{\textbf{Identities used}}$


1) (a+b) (a-b) = a^2 - b^2

2) 1- sin^2 A= Cos ^2 A

3) Sin A/ cos A = Tan A