Question

18. A two digit number is obtained by either multiplying sum of digits by 8 and adding 1 or multiplying the difference of digits by 13 and adding 2. Find the number.
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Answer 1

Answer:

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Answer 2

$\underline\mathfrak{Given:-}$

• $The \: \: two \: \: number \: \: is \: \: obtained \: \: by \: \: either \: \: multiplying \\ sum \: \: of \: \: digits \: \: by \: \: {8} \: \: and \: \: adding \: \: {1}.$

• $By \: \: multiplying \: \: the \: \: difference \: \: of \\ the \: \: digits \: \: by \: \: {13} \: \: and \: \: adding \: \: {2}.$

$\underline\mathfrak{To \: \: Find:-}$

• $\: \: \: \: \: Fine \: \: the \: \: of \: \: number?$

$\underline\mathfrak{Solutions:-}$

$\: \: \: \: \: \: \: Let \: \: the \: \: ten's \: \: place \: \: digits \: rupees \: \: be \: \: x$

• $\: \: \: \: \: \: \: Let \: \: the \: \: unit's \: \: place \: \: digits \: rupees \: \: be \: \: y$

$\: \: \: \: \: \therefore Number \: \: \leadsto \: \: {10x} \: + \: {y}$

• $\: \: \: \: \: number \: \: is \: \: obtained \: \: by \: \: either \: \: multiplying \\ sum \: \: of \: \: digits \: \: by \: \: {8} \: \: and \: \: adding \: \: {1}$

$\: \: \: \: \: \leadsto {10x} \: + \: {y} \: \: = \: \: {8}{(x \: + \: y)} \: + \: {1}$

$\: \: \: \: \: \leadsto {10x} \: + \: {y} \: \: = \: \: {8x} \: + \: {8y} \: + \: {1}$

$\: \: \: \: \: \leadsto {10x} \: - \: {8x} \: + \: {y} \: - \: {8x} \: \: = \: \: {1}$

$\: \: \: \: \: \leadsto {2x} \: - \: {7y} \: \: = \: \: {1} \: \: \: \: \: \: \: ....{(1)}.$

• $\: \: \: \: \: By \: \: multiplying \: \: the \: \: difference \: \: of \\ the \: \: digits \: \: by \: \: {13} \: \: and \: \: adding \: \: {2}.$

$\: \: \: \: \: \leadsto {10x} \: + \: {y} \: \: = \: \: {13}{(x \: - \: y)} \: + \: {2}$

$\: \: \: \: \: \leadsto {10x} \: + \: {y} \: \: = \: \: {13x} \: - \: {13y} \: + \: {2}$

$\: \: \: \: \: \leadsto {10x} \: - \: {13x} \: + \: {y} \: + \: {13y} \: \: = \: \: {2}$

$\: \: \: \: \: \leadsto {-3x} \: + \: {14y} \: \: = \: \: {2}$

$\: \: \: \: \: \leadsto {3x} \: - \: {14y} \: \: = \: \: {-2} \: \: \: \: \: \: \: ....{(2)}.$

• $\: \: \: \: \: Multiplying \: \: Eq. \: \: {(1)} \: \: by \: \: {2}.$

$\: \: \: \: \: \leadsto {({2x} \: - \: {7y} \: \: = \: \: {1})} \: \: \: \times \: \: {2}.$

$\: \: \: \: \: \leadsto {4x} \: - \: {14y} \: \: = \: \: {2} \: \: \: \: \: \: \: ....{(3)}.$

$\: \: \: \: \: From \: \: Eq \: \: {(2)} \: \: and \: \: Eq. \: {(3)}.$

${4x} \: - \: {14y} \: \: = \: \: {2} \\ {3x} \: - \: {14y} \: \: = \: \: {-2} \\ \underline{ - \: \: \: \: \: \: \: \: \: + \: \: \: \: \: \: = \: \: \: + \: \: \: \: } \\ x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \: \: {4}$

• $\: \: \: \: \: Now, \: \: putting \: \: value \: \: of \: \: x \: \: in \: \: Eq. \: \: {(2)}.$

$\: \: \: \: \: \leadsto {3x} \: - \: {14y} \: \: = \: \: {-2}$

$\: \: \: \: \: \leadsto {3} \: \times \: {4} \: - \: {14y} \: \: = \: \: {-2}$

$\: \: \: \: \: \leadsto {12} \: - \: {14y} \: \: = \: \: {-2}$

$\: \: \: \: \: \leadsto {12} \: + \: {2} \: \: = \: \: {14y}$

$\: \: \: \: \: \leadsto {14} \: \: = \: \: {14y}$

$\: \: \: \: \: \leadsto {y} \: \: = \: \: \frac{14}{14}$

$\: \: \: \: \: \leadsto {y} \: \: = \: \: {1}$

• $\: \: \: \: \: So, \: \: the \: \: number \: \: {({10y} \: + \: {1})}$

$\: \: \: \: \: \leadsto {10y} \: \times \: {4} \: + \: {1}$

$\: \: \: \: \: \leadsto {40} \: + \: {1}$

$\: \: \: \: \: \leadsto {41}$

$\: \: \: \: \: So, \: \: the \: \: number \: \: is \: \: {41}$

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