(2) 'दोन त्रिकोणांच्या क्षेत्रफळांचे गुणोत्तर हे त्यांच्या पाया व संगत उंची यांच्या गुणाकाराच्या
गुणोत्तराएवढे असते', हे सिद्ध करण्यासाठी पुढील कृतीने सुरुवात करा :
(i) दोन योग्य त्रिकोण काढा. सर्व बिंदूंना नावे दया.
(ii) पक्ष व साध्य लिहा.
Answers
Answer:
त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ म्हणजे त्रिकोणाच्या आंतरभागाचे (प्रतलखंडाचे; त्रिकोणी क्षेत्राने व्यापलेल्या प्रतलाच्या तुकड्याचे) क्षेत्र मापन होय. (प्रतल म्हणजे सपाट पृष्ठभाग आणि प्रतल खंड म्हणजे सपाट पृष्ठभागाचा मर्यादित तुकडा)
आकृती १ मध्ये बिंदू M आणि बिंदू N हे अनुक्रमे बाजू AB आणि बाजू AC चे मध्यबिंदू (बिंदू M मधून जाणारा रेषाखंड PR हा बाजू BC ला लंब आहे आणि बिंदू N मधून जाणारा रेख QS हा बाजू BC ला लंब आहे.) ΔBRM चे बिंदू M भोवती फिरवून ΔMAP दर्शविला आहे. तसेच ΔCSN हा बिंदू N भोवती फिरवून ΔNAQ दर्शविला आहे.
⧠ PQRS हा एक आयत आहे. रेषाखंड MN, रेषाखंड RS आणि रेषाखंड PQ हे समान लांबीचे असून त्यांची लांबी रेषाखंड RS आणि रेषाखंड PQ हे समान लांबीचे असून त्यांची लांबी रेख BC च्या (पायाच्या) निम्मी आहे.
ΔABC ची उंची (h) ही रेख PR आहे रेख QS यांच्या लांबी एवढी आहे. ⧠ PQRS चे क्षेत्रफळ आणि Δ ABC चे क्षेत्रफळ समान आहे.
ΔABC चे क्षेत्रफळ = ⧠ PQRS चे क्षेत्रफळ
= लांबी PR × रुंदी RS
=\frac{1}{2} (पाया BC × ΔABC ची उंची)
आकृती क्र. २
आकृती २ मध्ये बिंदू O हा ΔABC च्या आंतरवर्तुळाचा केंद्रबिंदू आहे. (त्रिकोणाच्या आंतरभागातील जे वर्तुळ त्रिकोणाच्या तिन्ही बाजूंना आतून स्पर्श करते त्या वर्तुळाला त्रिकोणाचे आंतरवर्तुळ असे म्हणतात. त्रिकोणाची प्रत्येक बाजू ही स्पर्श बिंदूत काढलेल्या त्रिज्येला लंब असते.) ΔABC चे क्षेत्रफळ हे ΔOBC, ΔOCA व ΔOAB या त्रिकोणांच्या क्षेत्रफळांच्या बेरजे एवढे आहे. r = वर्तुळाची त्रिज्या
A (\triangle ABC) = A (\triangle OBC)+ A (\triangle OCA) + A(\triangle OAB)
= \frac{1}{2} a.r + \frac{1}{2} b.r + \frac{1}{2} c.r
= \frac{1}{2} r (a+b+c)
= \frac{1}{2} r [l(BC) + l(BC)+ l(AB)]
∴ ΔABC चे क्षेत्रफळ = \frac{1}{2}आंतरवर्तुळाची त्रिज्या × ΔABC ची परिमिती.
दोन त्रिकोणाच्या क्षेत्रफळाचे गुणोत्तर हे त्याच्या पाया व संगतउंची यांच्या गुणाकाराच्या