(2x+1 )( x+1)=0 ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲ
Answers
Answer:
ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣಗಳು
ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣಗಳು
ಮಿಶ್ರ ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅಪವರ್ತನ ಕ್ರಮದಿಂದ ಬಿಡಿಸುವುದು
ವರ್ಗಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರ
ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳ ಸ್ವಭಾವ
ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳಿಗೂ, ಅವುಗಳ ಸಹಾಪವರ್ತನಗಳಿಗೂ ಇರುವ ಸಂಬಂಧ
ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣಗಳು
ಅರ್ಜುನನು ಮಹಾಭಾರತ ಯುದ್ಧದಲ್ಲಿ ಕರ್ಣನನ್ನು ಕೊಲ್ಲಲು ಬತ್ತಳಿಕೆ ಯಿಂದ ಹಲವು ಬಾಣಗಳನ್ನು ತೆಗೆಯುತ್ತಾನೆ. ತೆಗೆದ ಬಾಣಗಳಲ್ಲಿ ಅರ್ಧದಷ್ಟರಿಂದ ಕರ್ಣನ ಬಾಣಗಳನ್ನು ತುಂಡರಿಸುತ್ತಾನೆ. ತೆಗೆದ ಬಾಣಗಳ ವರ್ಗಮೂಲದ 4ರಷ್ಟರಿಂದ ಕರ್ಣನ ಕುದುರೆಗಳನ್ನು, 6 ಬಾಣಗಳಿಂದ ಶಲ್ಯನನ್ನು, ಒಂದೊಂದರಿಂದ ಕರ್ಣನ ರಥದ ಕೊಡೆ, ಕರ್ಣನ ರಥದ ಬಾವುಟ, ಮತ್ತು ಕರ್ಣನ ಬಿಲ್ಲನ್ನು ತುಂಡರಿಸುತ್ತಾನೆ. ಉಳಿದ ಒಂದು ಬಾಣದಿಂದ ಕರ್ಣನನ್ನು ಕೊಂದರೆ, ಬತ್ತಳಿಕೆ ಯಿಂದ ಒಟ್ಟು ಎಷ್ಟು ಬಾಣಗಳನ್ನು ತೆಗೆಯುತ್ತಾನೆ? (ಲೀಲಾವತಿ: ಶ್ಲೋಕ 71)
ಮೇಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆ ಬಿಡಿಸುವ ಆಸೆ ಇದೆಯೇ?
ನಿಜ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಎದುರಿಸುವ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಉತ್ತರ ಗೊತ್ತೇ?
ಸಮಸ್ಯೆ: ನೀವು, ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತರು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಒಂದು ಪ್ರವಾಸಕ್ಕೆ ಹೋಗಲು ಬಯಸುತ್ತೀರಿ. ಆಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಒಟ್ಟು 480ರೂ. ಖರ್ಚಾಗುತ್ತದೆಂದು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದಿರಿ. ಆದರೆ ಕೊನೆಯ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ 8 ಮಂದಿ ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತರು ಪ್ರವಾಸಕ್ಕೆ ಹೋಗಲಿಲ್ಲ. ಇವರು ಬಾರದಿದ್ದುದರಿಂದ, ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಆಹಾರಕ್ಕಾಗಿ 10ರೂ. ಹೆಚ್ಚಿಗೆ ಕೊಡಬೇಕಾಯಿತು. ಹಾಗಾದರೆ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಕೊನೆಗೆ ಕೊಟ್ಟ ಹಣ ಎಷ್ಟು?
ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಕೆಳಗಿನ ಕೆಲವು ಸಮಸ್ಯೆ ಬಿಡಿಸುವುದನ್ನು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ:
1. ಒಂದು ವರ್ಗದ ಸುತ್ತಳತೆ 60ಮೀಟರ್ ಆದರೆ ಅದರ ಬದಿಯ ಉದ್ದ ಎಷ್ಟು?
ಕ್ರಮ: ವರ್ಗದ ಒಂದು ಬದಿ: ‘x’ ಆಗಿರಲಿ. ಆಗ ಸುತ್ತಳತೆ = 4x
4x =60
x =15 ಮೀ.
ಈ ರೀತಿ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಒಂದೇ ಪರಿಹಾರವಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಇಲ್ಲಿ 15, 4x = 60 ಎನ್ನುವ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲ.
2. ಒಂದು ವರ್ಗದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ 25 ಚದರ ಮೀಟರ್ ಗಳಾದರೆ ಅದರ ಒಂದು ಬದಿಯ ಉದ್ದ ಎಷ್ಟು?
ಕ್ರಮ: ವರ್ಗದ ಒಂದು ಬದಿಯ ಉದ್ದ ‘x’ ಆಗಿರಲಿ. ಆಗ ಆ ವರ್ಗದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = x2
x2 = 25 =5*5
x=5 ಮೀ.
ಆದರೆ 25 = -5*-5 ಎಂದೂ ಆಗುತ್ತದೆ. x= -5 ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವೂ ಆಗಿದ್ದು x2 = 25 ನ್ನು ತೃಪ್ತಿ ಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ x = 5 ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳು.
ವರ್ಗದ ಬಾಹುವಿನ ಉದ್ದ ಋಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ x = -5 ನ್ನ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ.
ಆವ್ಯಕ್ತ ಪದದ ಘಾತ 2 ಆಗಿರುವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣ (quadratic equation) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.
x2 = 25 ಇದನ್ನು x2 - 25 =0 ಎಂದೂ ಬರೆಯಹುದು (ಏಕೆ ಮತ್ತು ಹೇಗೆ ?)
ಈ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಚರಾಕ್ಷರ x ನ ಘಾತ 2 ಮಾತ್ರವಿದೆ. ಮೊದಲ ಘಾತದ ಚರಾಕ್ಷರವಿಲ್ಲ.(bx ಎಂಬ ಅಂಶವಿಲ್ಲ.)
ವ್ಯಾಖ್ಯೆ:
1. ax2 +c = 0 ಸಮೀಕರಣದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಶುದ್ಧ ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣ (pure quadratic equation) ಎನ್ನುವರು. a ಮತ್ತು c ಗಳು ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದು a 0 ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
2. a, b ಮತ್ತು c ಗಳು ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದು a 0, b 0, ಆಗಿರುವ ax2 +bx+ c = 0 ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮಿಶ್ರವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣ (Adfected quadratic equation) ಎನ್ನುವರು. ಇಲ್ಲಿb=0 ಆದರೆ, ಅದು ಶುದ್ಧ ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣವಾಗುತ್ತದೆ.
ಮಿಶ್ರವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಉದಾಹರಣೆ: 3x2 -5x-16=0
ಉದಾ: 3x2 -16=0 ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಿಡಿಸುವಾ.
3x2 =16 (16 ನ್ನ ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ತಂದಿದೆ, ಅಥವಾ ಎರಡೂ ಕಡೆ 16 ನ್ನು ಕೂಡಿಸಿದೆ)
x2 =16/3
x = = / = (4/ )
ಸಮಸ್ಯೆ 1: ಬಿಡಿಸಿ: x2/2 – 3/4 = 29/4
ಪರಿಹಾರ:
ಪಕ್ಷಾಂತರ ಮಾಡಿದಾಗ,
x2/2 = 29/4+3/4 = (29+3)/4 = 32/4 =8
x2 =16
x = 4
ಸಮಸ್ಯೆ 2 : ಬಿಡಿಸಿ: (2m-5)2= 81
ಪರಿಹಾರ:
(2m-5)2= 92
2m-5 = 9
2m = 9 +5 (ಪಕ್ಷಾಂತರ ಮಾಡಿದಾಗ)
2m = +9+5 =14 ಅಥವಾ 2m = -9+5 = -4
m= 7 ಅಥವಾ m= -2
ತಾಳೆ:
m = 7: ಆದಾಗ, (2m-5)2=(9)2=81= ಬಲಬದಿ.
m = - 2: ಆದಾಗ, (2m-5)2=(-4-5)2=(-4-5)2=(-9)2=81= ಬಲಬದಿ.
ಸಮಸ್ಯೆ 3 : c2= a2+b2 ಆಗಿದ್ದು a=8, c=17 ಆದಾಗ b ಯ ಬೆಲೆ ಏನು?
ಪರಿಹಾರ:
c2= a2+b2
b2= c2-a2
b = (c2-a2) ( ಅಂದರೆ ವರ್ಗಮೂಲ)
a ಮತ್ತು c ಗಳ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ,
b = (c2-a2)
= (172-82)
= (289-64) = (225) = 15
ತಾಳೆ:
a=8, b=15 ಆದಾಗ ಬಲಬದಿ = a2+b2=64+225 =289 = 172= c2= ಎಡಬದಿ
2.19 ಸಮಸ್ಯೆ 4 : ಒಂದು ಸಿಲಿಂಡರಿನ ತ್ರಿಜ್ಯ ‘r’ ಎತ್ತರ ’h’ ಆದಾಗ ಅದರ ಘನಫಲ(ಗಾತ್ರ) = V = r2h
1. ನ ಸೂತ್ರ ಏನು?
2. ಗಾತ್ರ =176 , ಎತ್ತರ =14 ಆದಾಗ, ಸಿಲಿಂಡರಿನ ತ್ರಿಜ್ಯ ಕಂಡುಹಿಡಿ.
ಪರಿಹಾರ:
V = r2h
r2= V/ h
r = (V/ h)
ದತ್ತಾಂಶ: V=176, h = 14
= 22/7 (ಸಮೀಪದ ಬೆಲೆ)
r2=V/ h = 176*7/(22*14)= 4
r = 2
ತ್ರಿಜ್ಯವು ಋಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ r=2 ಮಾನಗಳು.
ತಾಳೆ:
= 22/7, h =14, r=2:
ಬಲಭಾಗ = r2h= 22*4*14/7 = 22*4*2=176=V= ಎಡಭಾಗ
ಮಿಶ್ರ ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅಪವರ್ತನ ಕ್ರಮದಿಂದ ಬಿಡಿಸುವುದು
ಈ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ನಾವು ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಎರಡು ದ್ವಿಪದಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿ ಬರೆದು, ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ಸೊನ್ನೆಗೆ ಹೋಲಿಸಿ, ಚರಾಕ್ಷರದ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ತುಂಬಾ ಅಭ್ಯಾಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಸರಿಯಾಗಿ ಕಲಿಯಲು ತುಂಬಾ ಸಮಯಬೇಕು.
ಸಮಸ್ಯೆ 1: ಬಿಡಿಸಿ: 6-p2=p
ಪರಿಹಾರ:
ಪಕ್ಷಾಂತರ ಮಾಡಿದಾಗ, ದತ್ತ ಸಮಸ್ಯೆ: p2+p-6 = 0
ಈಗ, ಎಡಭಾಗವನ್ನು (x+a)(x+b) ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬೇಕು.
ಇಲ್ಲಿ a+b =1, ab = -6.
- 6 ರ ಅಪವರ್ತನಗಳ ಯುಗ್ಮಗಳು (1, -6), (-1,6), (2,-3), (-2,3), (3,-2), (-3,2)
ಇವುಗಳಲ್ಲಿ a+b =1, ab = -6. ಈ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಅನುಸಾರವಾಗಿರುವ ಗುಂಪು a = -2 ಮತ್ತು b= 3
p2+p-6 = p2+3p-2p -6
= p(p+3) -2(p+3) ---- ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದ (p+3) ವನ್ನು ಹೊರ ತೆಗೆದಾಗ
= (p+3)(p-2)
p2+p-6 = 0
(p+3)(p-2) = 0 (ಎರಡು ಪದಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ 0 ಆದರೆ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪದ 0 ಆಗಿರಲೇಬೇಕು.)
p+3 = 0 ಅಥವಾ p-2 = 0
p= -3 ಅಥವಾ p =2 ಇವು ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳು
Answer:
cmvxjmhfdyjrxkhtfxhfdhfykfdyteuttelellueuo5eu5oe67rdt7d5d7oeo755euteoue7dlueutleuttudoruryi57odkutute55ei5letuluto47le57l57elutdugjgdtjlrutkrmurrdjfjdmdmgrjygktjjdmjjfkyljgrlriggljr,gj.gj.dj.gdkyd
found
HDKk.gdd
it'd
yoyffuofyk
utk
found
tyo
Hoff
Kuykendall
t
utility
u
otyjrlrtultu
kurtkutelu
to
dyUFLdky