Question

3 log √m + 2 log ³√n = 1 ; find m^9 * n^4​

Answer 1

$\underline{\textbf{Given:}}$

$\mathsf{3\,log\sqrt{m}+2\,log\sqrt[3]{n}=1}$

$\underline{\textbf{To find:}}$

$\textsf{The value of}\;\mathsf{m^9n^4}$

$\underline{\textbf{Solution:}}$

$\mathsf{Consider,}$

$\mathsf{3\,log\sqrt{m}+2\,log\sqrt[3]{n}=1}$

$\textsf{This can be written as,}$

$\mathsf{3\,log\,m^\frac{1}{2}+2\,log\,n^\frac{1}{3}=1}$

$\textsf{Using power rule, we get}$

$\mathsf{log\,m^\frac{3}{2}+log\,n^\frac{2}{3}=1}$

$\textsf{Using product rule, we get}$

$\mathsf{log\,_{10}\,m^\frac{3}{2}\,n^\frac{2}{3}=1}\;\;\;\;\textsf{(Take the base as 10)}$

$\implies\mathsf{m^\frac{3}{2}\,n^\frac{2}{3}=10}$

$\textsf{Raising bothsides to the power 6}$

$\mathsf{(m^\frac{3}{2}\,n^\frac{2}{3})^6=10^6}$

$\mathsf{(m^\frac{3}{2})^6\,(n^\frac{2}{3})^6=10^6}$

$\mathsf{(m^\frac{3{\times}6}{2})\,(n^\frac{2{\times}6}{3})=10^6}$

$\mathsf{(m^{3{\times}3})\,(n^{2{\times}2})=10^6}$

$\implies\boxed{\mathsf{m^9\,n^4=10^6}}$

$\underline{\textbf{Formulae used:}}$

$\boxed{\begin{minipage}{7cm} \\\\\textbf{Product rule:}\;\mathsf{log_a(MN)=log_aM+log_aN}\\\\\textbf{Power rule:}\;\mathsf{log_aM^r=r\,log_aM}\\\\ \end{minipage}}$