Question

3.
Show that (sin theeta +cos theeta)^2 – (sin theeta -cos theeta )^2 = 2 sin 20.​

Answer 1

$\large \underline \bold{Solution}$:-

$\sf{L.H.S}$:-

$\sf{(SinO + CosO)^{2} - (SinO - CosO)^{2}}$

$\large \underline \bold{Usable \: Identity}$:-

$\: \: \: \: \:$$\large\boxed{\sf\red{(a + b)^{2} - (a - b)^{2} = 4ab}}$

$\sf{On \: Comparing \: the \: above \: eq. \: to \: this \: Identity :-}$

$\sf{here \: ,}$

$\: \: \: \:$$\sf{a = SinO}$

$\: \: \: \:$$\sf{b = CosO}$

$\sf{So \: ,}$

$\: \: \: \: \:$$\sf{=> 4SinO CosO}$

$\: \: \: \: \:$$\sf{=> 2(2 SinO CosO)}$

$\sf{We \: know \: that}$:-

$\: \: \: \: \:$$\sf{2 SinO CosO = Sin 2O}$

$\sf{So \: ,}$

$\: \: \: \: \:$$\small \bold{=> 2 Sin 2O}$

$\: \: \: \: \:$$\small \bold{=> R.H.S}$

$\large \underline \bold{HENCE \: PROOF \: !!}$

$\large \underline \bold{Extra \: Identity \: proof}$:-

$\: \: \: \: \: \: \:$$\small \bold{Sin 2O}$

$\: \: \: \:$$\sf{Sin (O + O)}$

$\: \:$$\sf{SinO CosO + CosO SinO}$

$\: \:$$\sf{SinO CosO + SinO CosO}$

$\: \: \: \: \:$$\small \bold{2SinO CosO}$

Answer 2

$\: \: \boxed{\boxed{\sf{\mapsto \: Let \: us \: know \: formulas}}}$

$\large\mathsf\purple{{(a+b)}^{2}-{(a-b)}^{2} \: = \: 4ab}$ $\mathrm\red{--------> 1}$

$\large\mathsf\purple{2(2sinθ.cosθ) \: = \: 2.sin2θ}$ $\mathrm\red{--------> 2}$

$\mathsf\red{Given}$

$\mathsf{LHS \: = \: {(sinθ+cosθ)}^{2}-{(sinθ-cosθ)}^{2}}$

$\large\mathsf{RHS \: = \: 2sin2θ}$

$\mathsf\red{Solving \: by \: LHS \: :}$

$\mathsf{= \: {(sinθ+cosθ)}^{2}-{(sinθ-cosθ)}^{2}}$

$\mathsf\red{From \: the \: formula \: 1}$

$\mathsf{===> {(sinθ+cosθ)}^{2}-{(sinθ-cosθ)}^{2} \: = \: 4sinθcosθ}$

$\mathsf{= \: 2(2sinθcosθ)}$

$\mathsf\red{From \: the \: formula \: 2}$

$\mathsf{= \: 2.sin2θ}$

$\: \: \boxed{\sf{LHS \: = \: RHS}}$