Question

3x+5/√x find the derivative from first principle​

Answer 1

Appropriate Question :-

What is the derivative of (3x + 5)/√x from the first principal.

Solution :-

$\rm:\longmapsto{f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \rm:\longmapsto{\lim_{h \to 0} \frac{ \frac{3(x + h) + 5}{ \sqrt{x + h} } - \frac{3x + 5}{ \sqrt{x} } }{h} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \rm:\longmapsto{\lim_{h \to 0} \frac{3 \sqrt{x}(x + h) + 5 \sqrt{x} - \sqrt{x + h} (3x + 5) }{h \sqrt{x + h} \sqrt{x} } } \: \: \: \: \: \: \\ \\ \\ \rm:\longmapsto{\lim_{h \to 0} \frac{3x \sqrt{x} + 3h \sqrt{x } + 5 \sqrt{x} - \sqrt{x + h} (3x + 5)}{hx} } \\ \\ \rm:\longmapsto{ \frac{3}{ \sqrt{x} } + \lim_{h \to 0} \frac{ (3x + 5)( \sqrt{x} - \sqrt{x + h}) }{hx} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \rm:\longmapsto{ \frac{3}{ \sqrt{x} } + \frac{3x + 5}{x} \lim_{h \to 0} \frac{ \sqrt{x} - \sqrt{x + h} }{hx} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \rm:\longmapsto{ \frac{3}{ \sqrt{x} } + \frac{3x + 5}{x} \lim_{h \to 0} \frac{ - h}{2h \sqrt{x} } } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \rm:\longmapsto{ \frac{3}{ \sqrt{x} } - \frac{3x + 5}{2 x \sqrt{x} }} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \rm:\longmapsto{ \frac{3x + 5}{ \sqrt{x} } = \boxed{ \red{ \rm{\frac{3x - 5}{2x \sqrt{x} } }}}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬

Answer 2

Answer:$\frac{d}{dx} (3x+\frac{5}{\sqrt{x} })=\frac{3x-5}{2x\sqrt{x} }$

Step-by-step explanation:

$\frac{d}{dx} (3x+\frac{5}{\sqrt{x} })$

Apply Quotient Rule

$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f\:'\cdot g-g'\cdot f}{g^2}$

$=\frac{\frac{d}{dx}\left(3x+5\right)\sqrt{x}-\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x}\right)\left(3x+5\right)}{\left(\sqrt{x}\right)^2}$

$=\frac{3\sqrt{x}-\frac{1}{2\sqrt{x}}\left(3x+5\right)}{\left(\sqrt{x}\right)^2}$

$=\frac{3x-5}{2x\sqrt{x}}$