Question

(4) If A + B + C = 180 then prove that
cos^2 A + cos^2 B + cos^2 C = 1 – 2 cos A cos B cos C.
​

Answer 1

cos²A + cos²B + cos²C  

= cos²A + cos²B + (sinA sinB − cosA cosB)²  

= cos²A + cos²B + sin²A sin²B − 2 sinA sinB cosA cosB + cos²A cos²B  

= cos²A + cos²B + (1−cos²A) (1−cos²B) − 2 sinA sinB cosA cosB + cos²A cos²B  

= cos²A + cos²B + 1 − cos²A − cos²B + cos²A cos²B − 2 sinA sinB cosA cosB + cos²A cos²B  

= 1 − 2 sinA sinB cosA cosB + 2cos²A cos²B  

= 1 − 2 cosA cosB (sinA sinB − cosA cosB)  

= 1 − 2 cosA cosB cosC  

= RHS