Question

4) रेषा, रेषाखंड
रेषा, रेषाखंड, किरण व प्रतल हे बिंदूचे समूह आहेत.
का कोनाचा पूरककान व कोटिकोन यांचे गुणोत्तर 25 : 7 आई
0000
3502) 45°554) 52
त्या कोनाचे माप किती ?
2. सोबतच्या आकृतीत,
रेषा RW​

Answer 1

Answer:

Step-by-step explanation:

भूमिति : गणितशास्त्राच्या विविध शाखांपैकी भूमिती ही एक प्रमुख शाखा असून तिला अवकाशाच्या गुणधर्मांचा अभ्यास करणारी शाखा असे म्हणता येईल. इतर विज्ञान शाखांप्रमाणे भूमितीचा उगम माणसाच्या व्यावहारिक गरजेमध्येच सापडतो. भूमिती या शब्दाचे जे दोन भाग भू=भूमी व मिती=मापन यांवरून ही गोष्ट स्पष्ट होते.

प्रस्तुत नोंदीत या विषयांवरील विवेचन पुढील ११ भागांत दिलेले आहे : (१) इतिहास, (२) युक्लिडीय भूमिती, (३) वैश्लेषिक भूमिती, (४) बहुमितीय भूमिती, (५) वर्णनात्मक भूमिती, (६) परिमित भूमिती, (७) अयुक्लिडीय भूमिती, (८) प्रक्षेपीय भूमिती, (९) अवकल भूमिती, (१०) रीमानीय भूमिती व (११) बैजिक भूमिती. ‘इतिहास’ या भागात भूमितीच्या सर्वसाधारण इतिहासाचा आढावा घेतलेला असून विशिष्ट भागांच्या ऐतिहासिक विकासासंबंधी त्या त्या भागांत अधिक माहिती दिलेली आहे.  

इतिहास

प्राचीन :  भूमितीचे स्वतंत्र शास्त्र ज्यांनी बनविले त्या ग्रीक लोकांनी भूमिती ईजिप्तमधून घेतल्यामुळे उदय ईजिप्तमध्ये झाला असे साधारणपणे समजले जाते. इ. स. पू. १५०० वर्षापूर्वीच्या काळात ईजिप्तमधील भूमितीमध्ये क्षेत्रफळे काढणे, निरनिराळे कोन आखणे अशासारखे प्रश्न हाताळलेले दिसतात.वैदिक काळामध्ये (इ.स.पू. १५०० ते ७८०) भारतामध्येही भूमितीचा अभ्यास झाला. भूमितीविषयक सिद्धांत शुल्ब सूत्रामध्ये आढळतात. यज्ञकुंडाची आकारमाने कशी असावीत, ती कशी मोजावीत या संबंधात भूमितीमधील काही नियम या सूत्रात दिले आहेत. उदा., काटकोन त्रिकोणासंबंधीचा नियम (जो पायथॅगोरस नियम म्हणून ओळखला जातो), दिलेल्या रेषाखंडांचा लंबदुभादजक काढणे, दिलेल्या आयताइतक्या क्षेत्रफळाचा समद्विभुज समलंब चौकोन वगैरेसंबंधीचे नियम यामध्ये दिले आहेत. त्या वेळी भूमितीच्या अभ्यासाची दृष्टी व्यावहारिक असल्यामुळे प्रमेये सिद्ध न करता फक्त मांडलेली आढळतात. व्यावहारिक भूमितीचे तर्ककठोर निगमन पद्धतीच्या अमूर्त भूमितीमध्ये रूपांतर करून त्याचे काटोकोर शास्त्र बनविण्याचे श्रेय ग्रीक लोकांना दिले पाहिजे. इ. स. पू. सातव्या शतकात ईजिप्त व ग्रीस या देशांतील व्यापारी संबंधातून साहजिकच विचारांचीही देवघेव सुरू झाली. मायलीटस येथील थेलीझ श्र इ. स. पू. सु. ६४०-५४६) या ग्रीक शास्त्रज्ञांनी ईजिप्तमध्ये राहून तेथील गणित व इतर भौतिक शास्त्रांचा अभ्यास केला. ग्रीसमध्ये भूमितीचा अभ्यास सुरू करण्याचा मान थेलीझ यांनाच दिला जातो. थेलीझ व त्यांचे शिष्य यांनी भूमितीमध्ये समद्विभुज त्रिकोणाचे कोन, व्यासाने होणारे वर्तुळाचे दोन सारखे भाग, दोन बाजू व त्यांतील समाविष्ट कोन हे समान असलेल्या त्रिकोणांची एकरूपता वगैरेसंबंधी अभ्यास केलेला आढळतो. ग्रीक गणितज्ञ व तत्त्वज्ञ ⇨ पायथॅगोरस (इ. स. पू. ५७५-४९५) यांनी दक्षिण इटलीमध्ये तत्वज्ञान व शास्त्रे यांच्या अभ्यासकांचा एक पंथ स्थापन केला. काटकोन त्रिकोणाच्या बाजूंसंबंधीचे प्रमेय हे पायथॅगोरस प्रमेय या नावानेच प्रसिद्ध आहे (तथापि या प्रमेयात सांगितलेला गुणधर्म बॅबिलोनियन, ईजिप्शियन, चिनी व भारतीय अभ्यासकांना पायथॅगोरस यांच्या काळच्या फार पूर्वीपासून माहिती होता असे दिसते). त्रिकोणाच्या तीन कोनांची बेरीज दोन काटकोन होते हे प्रमेय या पंथातील गणितज्ञांनीच सिद्ध केले. भूमितीविषयक अभ्यासाबरोबरच पायथॅगोरस पंथीयांनी अपरिमेय संख्या (दोन पूर्णाकांच्या गुणोत्तराच्या रूपात मांडता येत नाहीत अशा संख्या उदा., √२) व प्रमाण सिद्धांतावरही बरेच संशोधन केले. या पंथातील गणितज्ञांनी वर्तुळ भूमितीकडे फारसे लक्ष दिले नाही पण पुढे इ. स. पू. पाचव्या शतकात अथेन्समधील सॉफिस्ट पंथाच्या शिक्षकांनी खाली उल्लेखिलेल्या तीन भूमितीय रचना सोडविण्याकरिता वर्तुळासंबंधी बराच अभ्यास केला :  (१) दिलेल्या वर्तुळाच्या क्षेत्रफळाच्या चौरस रचणे, (२) कोनाचे तीन सारखे भाग पाडणे, (३) दिलेल्या घनाच्या दुप्पट घनफळाचा घन रचणे. ही घटना त्यावेळच्या भूमितीच्या प्रगतीची द्योतक मानली पाहिजे. त्या वेळची समजूत भूमितीय रचना ही फक्त कंपास व पट्टी यांनीच करता आली पाहिजे, अशी होती. ही अट मान्य केल्यास या तीन रचना अशक्य आहेत असे आता सिद्ध झाले आहे [⇨ गणितातील अनिर्वाहित प्रश्न]. ही अट बाजूला सारून पुढे ग्रीक गणितज्ञांनी हे प्रश्न यशस्वीपणे सोडविले. प्लेटो (इ. स. पू. सु. ४२८-सु. ३४८) व त्यांच्या शिष्यांनी बिंदू, रेषा पृष्ठ वगैरे भूमितीय घटकांच्या व्याख्या व गृहीतके यांचे स्पष्टीकरण या दिशेने प्रगती केली. पुढे ⇨ युक्लिड (इ. स. पू. सु. ३६५-सु. २७५) यांनी आपल्या भूमितीवरील ग्रंथात या व्याख्या व गृहीतके यांचा उपयोग केलेला आढळतो. युक्लिड यांनी बरीच ग्रंथरचना केली. इ. स. पू. ३०० च्या सुमारास त्यांनी लिहिलेला एलेमेंट्स हा ग्रंथ विशेष महत्त्वाचा आहे. त्या काळातील गणितशास्त्रामधील निरनिराळ्या सिद्धांतांची तर्कशुद्ध आणि संगतवार मांडणी हे युक्लिड यांचे महत्त्वाचे कार्य आहे. एलमेंट्‍स हा ग्रंथ सु. २,००० वर्षे पाठ्यपुस्तक म्हणून वापरला जावा हा गणितशास्त्राच्या इतिहासातील एक चमत्कारच मानला पाहिजे. ⇨आर्किमिडीज (इ. स. पू. सु. २८७-२१२) हेप्राचीन काळातील एक फार थोर शास्त्रज्ञ मानले जातात. त्यांच्या मनाचा कल प्रायोगिक शास्त्राकडे असल्यामुळे ⇨ अन्वस्त ( पॅराबोला) या वक्राचे क्षेत्रमापन, गोल व चिती यांचे पृष्ठफळ व घनफळ या संबंधीचे सिद्धांत, वर्तुळाचे क्षेत्रफळ, वर्तुळाचा परिघ व व्यास यांच्या गुणोत्तरासंबंधीची

(p)

२२  

&gt

p  

&gt

३  

१०  

७  

७१  

p  

=

३

१७७  

१२५०