Question

4 sin30° sin square60° + 3 cos60° tan45° = 2 sec square 45° - cosec sqare 90° ​

Answer 1

$\mathbf \red{LHS = \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: } \\ \\ \mathbf{ \: = (4 \sin30°. \: \: { \sin}^{2} 60°) + (3 \cos60°. \: \tan45) \: \: \: \: } \\ \\ \mathbf{ = \: \Bigg[ 4 \times \frac{1}{2} \: . \: {\Bigg( \frac{ \sqrt{3} }{2} \Bigg)}^{2} \Bigg]} \: + \: \mathbf{\Bigg[ 3 \times \frac{1}{2} \: . \: 1 \Bigg] \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: } \\ \\ \mathbf{ = \: \Bigg[2 \: . \: \frac{3}{4}\Bigg] + \frac{3}{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: } \\ \\ \mathbf{ = \: \frac{3}{2} + \frac{3}{2}\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: } \\ \\ \mathbf{ = \: \frac{6}{2} = 3 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: }$

$\mathbf \red{RHS \: = \:\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:} \\ \\ \mathbf{ = \: 2 \: { \sec}^{2}45 \: - \: { \cosec}^{2} 90 } \\ \\ \mathbf{ = \: 2 \: . \: { ( \sqrt{2} ) }^{2} - {(1)}^{2}\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: } \\ \\ \mathbf{ = 4 - 1\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:} \\ \\ \mathbf{ = 3 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \ \: \:}$

$\boxed{ \mathcal \pink{LHS=RHS}} \\ \\ \mathbf \orange{hence \: proved \: \: }$