Question

44. प्रत्येक अभाज्य कोटि का समूह होता है-
LA) वृत्तीय
(B) आबेली एवं अ-वृत्तीय
(C) अ-आबेली
(D) अ-वृत्तीय
[13]
P.T​

Answer 1

Step-by-step explanation:

C will be the current answer

Answer 2

अभाज्य कोटि का कोई भी समूह वृत्तीय होता है (विकल्प A)।

दिया गया,

अभाज्य कोटि का कोई भी समूह।

साबित करना,

अभाज्य कोटि का कोई भी समूह वृत्तीय होता है |

समाधान,

इस तथ्य को सिद्ध करने की विधि कि अभाज्य कोटि का कोई भी समूह वृत्तीय है, इस प्रकार है -

मान लीजिए कि p एक अभाज्य है और G एक ऐसा समूह है कि |G|=p.

तब G में एक से अधिक तत्व होते हैं।

मान लीजिए g∈G ऐसा है कि $g\neq e_G$. तब ⟨g⟩ में एक से अधिक तत्व होते हैं।

चूंकि ⟨g⟩≤G, लैग्रेंज के प्रमेय द्वारा, |⟨g⟩|, p . को विभाजित करता है. चूंकि |⟨g⟩| > 1 और |⟨g⟩| एक अभाज्य को विभाजित करता है, |⟨g⟩|=p=|G|। इसलिए, ⟨g⟩=G यानी G में एक जनरेटर तत्व है।

इसलिए, यह साबित हो गया है कि G, अभाज्य कोटि का एक समूह वृत्तीय है।

#SPJ2