5 cm तथा 3 cm त्रिज्या वाले दो वृत्त दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं तथा उनके केन्द्रों के बीच की दूरी 4 cm है। उभयनिष्ठ जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
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Answer:
उभयनिष्ठ जीवा की लम्बाई, 6 cm है।
Step-by-step explanation:
दिया है :
5 cm तथा 3 cm त्रिज्या वाले दो वृत्त दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं तथा उनके केन्द्रों के बीच की दूरी 4 cm है। अर्थात,
OP = 5cm, PS = 3cm तथा OS = 4cm तथा PQ = 2PR
माना RS = x , तब OR = OS - RS = (4 - x)
ΔPOR में,
OP² = OR² + PR²
⇒ 5² = (4 - x)² + PR²
⇒ 25 = 16 + x² – 8x + PR²
⇒ PR² = 9 – x² + 8x — (i)
ΔPRS में,
PS² = PR² + RS²
⇒ 3² = PR² + x²
⇒ PR² = 9 – x² — (ii)
समी (i) तथा (ii) से ,
9 – x² + 8x = 9 – x²
⇒ 8x = 0
⇒ x = 0
x का मान समी (i) में रखने पर,
PR² = 9 – x² + 8x
⇒PR² = 9 – 0² + 8 × 0
⇒PR² = 9
⇒ PR = 3 cm
उभयनिष्ठ जीवा की लम्बाई , PQ = 2PR = 2 × 3 = 6 cm
अतः उभयनिष्ठ जीवा की लम्बाई, 6 cm है।
आशा है कि यह उत्तर आपकी मदद करेगा।।।।
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प्रश्न :- 5 सेमी तथा 3 सेमी त्रिज्या वाले दो वृत्त दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं और उनके केन्द्रों के बीच की दूरी 4 सेमी है l उभयनिष्ठ जीवा की लम्बाई क्या होगी ?
1) 5 सेमी
2) 8 सेमी
3) 6 सेमी
4) 10 सेमी
उतर :-
चित्र में देखने पर दिया हुआ है कि,
- O1 से O2 = केन्द्रों के बीच की दूरी = 4 सेमी
- O1A = O1B = बड़े वृत्त की त्रिज्या = 5 सेमी
- O2A = O2B = छोटे वृत्त की त्रिज्या = 3 सेमी
त्रिभुज O1AO2 और O1BO2 में :-
→ O1A = O1B (बड़े वृत्त की त्रिज्या)
→ O2A = O2B (छोटे वृत्त की त्रिज्या)
→ O1O2 = O1O2 (समान)
अत,
→ ∆ O1AO2 ≅ ∆ O1BO2
जैसा की आपने देखा इन दोनों त्रिभुजों में तीनों की तीनों भुजाएं सामान हो गयी हैं जिससे ये त्रिभुज भुजा भुजा भुजा (SSS) के नियम से एक दुसरे से सर्वांग्स्म हो गए हैं ।
इसलिए,
→ ∠AO1O2 = ∠BO1O2 (CPCT)
अब, ∆AO1M और ∆BO1M में,
→ O1A = O1B
→ ∠AO1M = ∠BO1M
→ O1M = O1M
अत,
→ ∆AO1M ≅ ∆BO1M (SAS से)
इसलिए,
→ AM = BM (CPCT)
अब,
→ ∠AMO1 = ∠BMO1 = 90°
माना, O1M की लंबाई x सेमी है l
तब,
→ O1M + O2M = O1O2
→ x + O2M = 4
→ O2M = (4 - x) सेमी l
अब, ∆AMO1 में,
→ AM² + (O1M)² = (AO2)² (पाइथागोरस से)
→ AM² + x² = 5²
→ AM² = (25 - x²) -------------------(1)
इसी प्रकार,
∆AMO2 में,
→ AM² + (O2M)² = (AO1)² (पाइथागोरस से)
→ AM² + (4 - x)² = 3²
→ AM² = 9 - (4 - x)²
→ AM² = 9 - (16 + x² - 8x)
→ AM² = (-x² + 8x - 7) -------------------(2)
(1) और (2) को समान रखने पर,
→ 25 - x² = (-x² + 8x - 7)
→ 25 = 8x - 7
→ 25 + 7 = 8x
→ 8x = 32
→ x = 4 सेमी l
इसलिए, x का मान (1) में रखने पर,
→ AM² = (25 - x²)
→ AM² = (25 - 4²)
→ AM² = 25 - 16
→ AM² = 9
→ AM = 3 सेमी
अत,
→ AB = AM + MB = 3 + 3 = 6 सेमी (3) .
∴ उभयनिष्ठ जीवा की लम्बाई 6 सेमी होगी ll
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