Question

തുന7) ജ്യാമിതീയരൂപങ്ങളുടെ അകക്കാമ്പുകളുടെ തുക, ദutiാണു
കളുടെ തുക, ഒരു അകക്കാമ്പിന്റെ അളവി, ഒരു പുറംകോണിന്റെ
അളവ് എന്നീ ശ്രണികളുടെ ബീജഗണിതരൂപം എഴുതുക
( 3 ) ഈ ചിത്രങ്ങൾ നോക്കു
മ
തിരാണ
6YB:31:
ഒരു സമഭുജത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളുടെ മധ്യബിന്ദുക്കൾ യോജി
പ്പിച്ചു കിട്ടുന്ന ചെറിയ ത്രികോണം വെട്ടിമാറ്റിയതാണ് ആദ്യത്തെ
ചിതം. ഇതിലെ മൂന്നു ചുവന്ന ത്രികോണങ്ങളിൽനിന്നും ഇതുപാല
നടുവിലെ ത്രികോണം വെട്ടിമാറ്റിയതാണ് രണ്ടാമത്തെ ചിത്രം. ഈ
കിയ ഒരിക്കൽകൂടി ചെയ്തതാണ് മൂന്നാം ചിത്രം,
(1) ഓരോ ചിത്രത്തിലും എത്ര ചുവന്ന ത്രികോണങ്ങളുണ്ട് ?
ഒന്നും വെട്ടിമാറ്റാത്ത മുഴുവൻ ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവി |
എന്നെടുത്ത്, ഓരോ ചിത്രത്തിലെയും ഒരു ചെറിയ പ്രതികാ
ണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് കണക്കാക്കുക.
(iii) ഓരോ ചിത്രത്തിലെയും ചുവന്ന ത്രികോണങ്ങളുടെ ആകെ
പരപ്പളവ് എത്രയാണ്?
(iv) ഇങ്ങനെ തുടർന്നാൽ കിട്ടുന്ന ഈ മൂന്നു ശണികളുടെയും
ബീജഗണിതരൂപം എഴുതുക.
സമാന്തരശണീകൾ
ശങ്ങളുടെ നീളം 1, 2, 3, 4, ... ആയ സമചതുരങ്ങളുടെ ചുറ്റളവുകൾ കണ​

Answer 1

Malayali aannu alle.

Same here.

മൂന്നു വശങ്ങളും മൂന്നു കോണളവുകളും തുല്യമായ ത്രികോണങ്ങളാണ് സമഭുജ ത്രികോണങ്ങൾ. ആയതിനാൽ ഓരോ കോണളവും 60 ഡിഗ്രീ വീതമായിരിയ്ക്കും.

ഒരു വശം {\displaystyle a\,}{\displaystyle a\,}യും ലംബശീർ‌ഷം {\displaystyle h\,}{\displaystyle h\,}ഉം തന്നിരുന്നാൽ സമഭുജത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർ‌ണ്ണം കാണുന്നതിന് {\displaystyle {\frac {1}{2}}ah\,}{\displaystyle {\frac {1}{2}}ah\,} എന്ന സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിയ്ക്കുന്നു.

{\displaystyle a\,}{\displaystyle a\,} വശമായുള്ള സമഭുജത്രികോണം ആധാരമാക്കി വരയ്ക്കുന്ന:

{\displaystyle r\,}{\displaystyle r\,} ആരമായുള്ള അന്തർ‌വൃത്തത്തിന്റെ വിസ്തീർ‌ണ്ണം {\displaystyle \pi r^{2}\,}{\displaystyle \pi r^{2}\,} അഥവാ {\displaystyle {\frac {1}{12}}\pi a^{2}\,}{\displaystyle {\frac {1}{12}}\pi a^{2}\,} എന്ന സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ചും

{\displaystyle R\,}{\displaystyle R\,} ആരമായുള്ള പരിവൃത്തത്തിന്റെ വിസ്തീർ‌ണ്ണം {\displaystyle \pi R^{2}\,}{\displaystyle \pi R^{2}\,} അഥവാ {\displaystyle {\frac {1}{3}}\pi a^{2}}{\displaystyle {\frac {1}{3}}\pi a^{2}} എന്ന സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ചും കണ്ടെത്താം.

സമഭുജതികോണത്തിന്റെ തുല്യ വശങ്ങളെ aഎന്നു അടയാളപ്പെടുത്തിയാൽ, പൈത്ഗോറസ് തത്ത്വം ഉപ്യോഗിച്ച്,

വിസ്തീർണ്ണം {\displaystyle A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}}{\displaystyle A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}}

ചുറ്റളവ് {\displaystyle p=3a\,\!}{\displaystyle p=3a\,\!}

പരിവൃത്തത്തിന്റെ ആരം {\displaystyle R={\frac {a}{\sqrt {3}}}}{\displaystyle R={\frac {a}{\sqrt {3}}}}

ആന്തരവൃത്തത്തിന്റെ ആരം {\displaystyle r={\frac {\sqrt {3}}{6}}a}{\displaystyle r={\frac {\sqrt {3}}{6}}a} or {\displaystyle r={\frac {R}{2}}}{\displaystyle r={\frac {R}{2}}}

പരിവൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രവും ആന്തര വൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രവും ത്രികോണത്തിന്റെ ജ്യാമിതീയ കേന്ദ്രവും ഒന്നു തന്നെ ആയിരിക്കും.  

ഏതു വശത്തു നിന്നുമുള്ള ഉയരം, {\displaystyle h={\frac {\sqrt {3}}{2}}a}{\displaystyle h={\frac {\sqrt {3}}{2}}a}.  പരിവൃത്തത്തിന്റെ ആരം R, ആണെങ്കിൽത്രികോണമിതി ഉപയോഗിച്ച്,

ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം {\displaystyle \mathrm {A} ={\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}R^{2}}{\displaystyle \mathrm {A} ={\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}R^{2}} പല പരിമാണങ്ങൾക്കും ശീർഷത്തിൽ നിന്നും എതിർവാശത്തേക്കുള്ള ഉന്നതി ("h") ന് ബന്ധങ്ങളുണ്ട്:

വിസ്തീർണ്ണം   {\displaystyle A={\frac {h^{2}}{\sqrt {3}}}}{\displaystyle A={\frac {h^{2}}{\sqrt {3}}}}

ഓരോ വശത്തുനിന്നും കേന്ദ്രത്തിലേക്കുള്ള അകലം  {\displaystyle {\frac {h}{3}}}{\displaystyle {\frac {h}{3}}}

പരിവൃത്തത്തിന്റെ ആരം  {\displaystyle R={\frac {2h}{3}}}{\displaystyle R={\frac {2h}{3}}}

ആന്ത്ര വൃത്തത്തിന്റെ ആരം  {\displaystyle r={\frac {h}{3}}}{\displaystyle r={\frac {h}{3}}}  ഒരു സമഭുജ ത്രികോണത്തിൽ, ഉന്നതി, കോണിന്റെ സമഭാജികൾ, ലംബസമഭാജികൾ, മാധ്യമം എന്നിവ ഒന്നായിരിക്കും.

== സവിശേഷതകൾ == ABC എന്ന ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങൾ a, b, c, അർദ്ധചുറ്റളവ് s, വിസ്തീർണ്ണം T, പരിവൃത്തത്തിന്റെ ആരങ്ങൾ ra, rb, rc (തൊടുവര യഥാക്രമം a, b, c ), പരിവൃത്തത്തിൻടേയും ആന്ത്രവൃത്തത്തിൻടേയും ആരങ്ങൾ യഥാക്രമം R and rആവുംപ്പോൾ, സമഭുജമാവണമെങ്കിൽ താഴെ പറയുന്ന ഒമ്പത് ഇനങ്ങളിൽ ഒന്നെങ്കിലും ശരിയാവണം. ഈ വിശേഷതകൾ സമഭുജത്രികോണത്തിന്റെ മാത്രം പ്രത്യേകതയാണ്.