નીચેનામાંથી કોઈ સંખ્યા સંભાવના માટે શકય નથી a 1/3 b 3/5 c 1 d 5/3
Answers
અવિભાજ્ય સંખ્યા (prime number) એક એવી પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે, જે ૧ કરતાં મોટી છે અને જેને પોતાના અને ૧ના સિવાય અન્ય કોઈ અવયવ નથી. ૧ કરતા મોટી દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યા, જો અવિભાજ્ય ન હોય, તો તે વિભાજ્ય સંખ્યા કહેવાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, 5 એ અવિભાજ્ય છે, કારણ કે તેના ધન પૂર્ણાંક અવયવ માત્ર 1 અને 5 છે, જ્યારે 6 વિભાજ્ય છે, કારણ કે તેના અવયવો 1 અને 6 ઉપરાંત 2 અને 3 છે. અંકગણિતનો મૂળભૂત પ્રમેય, અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનું અંકગણિતમાં મહત્ત્વ સાબિત કરે છે: ૧ કરતાં મોટા કોઈ પણ પૂર્ણાંકને અવિભાજ્ય અવયવોના ગુણાકાર તરીકે અનન્ય રીતે દર્શાવી શકાય (જો કે ગુણાકારમાં તેમનો ક્રમ બદલાઈ શકે). આ પ્રમેયની વિશિષ્ટતાને માટે જરૂરી છે કે ૧ને અવિભાજ્ય ગણવામાં ન આવે, કારણ કે ૧ને કોઈ પણ અવયવીકરણમાં ગમે તેટલી વખત (arbitrarily many times) લઇ શકાય, દા. ત., 3, 1 · 3, 1 · 1 · 3, વગેરે, જે બધા ૩ના માન્ય અવયવીકરણ છે.
અવિભાજ્ય હોવા કે ન હોવાના ગુણધર્મને અવિભાજ્યતા કહે છે. આપેલ સંખ્યા nની અવિભાજ્યતા ચકાસવાની એક ધીમી પણ સહેલી રીત trial division છે. તે રીતમાં ચકાસવાનું હોય છે કે n એ 2 અને {\displaystyle {\sqrt {n}}}{\displaystyle {\sqrt {n}}}. મોટી સંખ્યાઓની અવિભાજ્યતા ચકાસવા માટે trial division કરતા ઘણા વધુ કાર્યક્ષમ Algorithms બનાવવામાં આવ્યા છે. જેમાં Miller–Rabin primality test, જે ઝડપી છે પણ તેમાં ભૂલની થોડી સંભાવના રહે છે, અને AKS primality test, જે polynomial time માં હંમેશા સાચો જવાબ આપે છે, પણ વ્યવહારમાં (practically) બહુ ધીમો છે. ખાસ સ્વરૂપની સંખ્યાઓ ,જેમ કે Mersenne numbers, માટે ઝડપી રીતો (પ્રાપ્ય / available) છે. જાન્યુઆરી ૨૦૧૬માં સૌથી મોટી અવિભાજ્ય સંખ્યામાં 22,338,618 દશાંશ અંકો છે.
યુક્લિડે ઈ.સ. પૂર્વે ૩૦૦માં દર્શાવ્યા મુજબ (યુક્લીડનું પ્રમેય) અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ અનંત છે. કોઈ જાણીતા, સાદા સૂત્ર વડે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓને વિભાજ્ય સંખ્યાઓથી અલગ પાડી શકાતી નથી. જો કે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનું વિતરણ, એટલે કે આંકડાશાસ્ત્રીય વર્તણુક (statistical behaviour) ગણી શકાય છે. તે દિશામાંનું પ્રથમ પરિણામ 19મી સદીના અંતમાં સાબિત કરાયેલ prime number theorem છે, જે કહે છે કે, યાદૃચ્છીક રીતે (randomly) પસંદ કરેલ સંખ્યા n અવિભાજય હોય તેની સંભાવના તેના અંકોની સંખ્યાના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં, અથવા nના લઘુગુણક ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ વિશેના ઘણા પ્રશ્નો અનુત્તર છે, જેમ કે Goldbach's conjecture (એટલે કે ૨થી મોટી દરેક યુગ્મ પૂર્ણાંક સંખ્યાને બે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના સરવાળા તરીકે દર્શાવી શકાય), અને the twin prime conjecture (એટલે કે જેમનો તફાવત ૨ હોય તેવી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની અનંત જોડી (pair) મળે). આવા પ્રશ્નો એ અંકગણિતની વિવિધ શાખાઓ, જે સંખ્યાઓના analytic અથવા બૈજીક (algebraic) ગુણધર્મો પર કેન્દ્રિત હોય, તેના વિકાસમાં ફાળો આપ્યો છે. અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો information technologyમાં ઘણા કાર્યોમાં ઉપયોગ થાય છે, જેમ કે public-key cryptography, જે મોટી સંખ્યાઓના અવિભાજ્ય અવયવ પાડવામાં પડતી મુશ્કેલીના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરે છે. અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ ને કારણે અન્ય ગાણિતિક ક્ષેત્રો (domains) જેમકે બીજગણિત માં ઘણા સામાન્યીકરણ (generalization) ઉદ્ભવે છે, જેમ કે prime elements અને prime ideals.
Hope it helps....