Question

a=1-root 3 find( a-1/a )^3

Answer 1

$\textbf{Given:}$

$\mathsf{a=1-\sqrt{3}}$

$\textbf{To find:}$

$\textsf{The value of}\;\mathsf{\left(a-\dfrac{1}{a}\right)^3}$

$\textbf{Solution:}$

$\textsf{Consider,}$

$\mathsf{\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{1-\sqrt{3}}}$

$\mathsf{\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{1-\sqrt{3}}{\times}\dfrac{1+\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}}$

$\mathsf{\dfrac{1}{a}=\dfrac{1+\sqrt{3}}{1-3}}$

$\mathsf{\dfrac{1}{a}=\dfrac{1+\sqrt{3}}{-2}}$

$\mathsf{\dfrac{1}{a}=\dfrac{-(1+\sqrt{3})}{2}}$

$\mathsf{Now,}$

$\mathsf{\left(a-\dfrac{1}{a}\right)^3}$

$\mathsf{=\left(1-\sqrt{3}+\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\right)^3}$

$\mathsf{=\left(\dfrac{2-2\sqrt{3}+1+\sqrt{3}}{2}\right)^3}$

$\mathsf{=\left(\dfrac{3-\sqrt{3}}{2}\right)^3}$

$\mathsf{=\dfrac{(3-\sqrt{3})^3}{8}}$

$\mathsf{=\dfrac{27-3\sqrt{3}-27\sqrt{3}+27}{8}}$

$\mathsf{=\dfrac{54-30\sqrt{3}}{8}}$

$\mathsf{=\dfrac{27-15\sqrt{3}}{4}}$

$\implies\boxed{\mathsf{\left(a-\dfrac{1}{a}\right)^3=\dfrac{27-15\sqrt{3}}{4}}}$