Question

a) -5 If 5 is a root of the quadratic equation 2x² + pa- 15 = 0 and the equation p(x²+x) K = 0 has equal roots, find the value the value of k.​

Answer 1

Correct Question:-

If -5 is a root of the quadratic equation 2x² + px- 15 = 0 and the equation p(x²+x) +K = 0 has equal roots, find the value the value of k.

______________________

Given : -5 is the root of the Quadratic equation 2x²+px-15=0 and the Equation p(x² +x)+k = 0 has equal roots .ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ‎‎ㅤㅤㅤㅤ‎‎‎‎‎ㅤ_________________

We know that, -5 is the root So, substitute x=-5

$\: \: \: \: \: \: \: \: \:\: \dashrightarrow \sf \: 2(-5) {}^{2} + p(-5) - 15 = 0$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \dashrightarrow \sf \: 2(25) -5p - 15 = 0$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \dashrightarrow \sf \: -5p +35 = 0$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \dashrightarrow \sf \: -5p = -35$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \dashrightarrow \sf \: p = \dfrac{-35}{-5}$

$\: \: \: \dag \: \: \: \: \boxed{ \underline{ \mathfrak \pink{p = 7}}}$

Now, considering the equation.

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \dashrightarrow\sf \: p(x {}^{2} + x)+k \: = 0$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\dashrightarrow\sf \: p(x {}^{2} + x)+k) \: = 0$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \dashrightarrow \sf \: px {}^{2} + px +k\: = 0$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \dashrightarrow \sf \: 7x {}^{2} + 7x+k \: = 0$

Equation has equal roots i.e Discriminant =0

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \underline{ \mathfrak{ \pink{b {}^{2} - 4ac = 0 }}}} \pink \dag \:$

a = 7 , b = 7 ,c = k

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \dashrightarrow\: \sf \: (7) {}^{2} - 4(7)(k) = 0$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \dashrightarrow\: \sf \: 49-28k= 0$

$\:\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \dashrightarrow\: \sf \: 49 = 28k$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \dashrightarrow\: \sf \: k = \dfrac{49}{28}$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \dag \: \: \: \: \boxed{ \underline{ \mathfrak \pink{k = \frac{7}{4}}}}$