Question

A continuous random variable X has a p.d.f. f(x)=3x2 , 0≤x≤1. Find a and b such that (i) P(X≤a)=P(X>a), and P(X>b)=0.05.​

Answer 1

$\textbf{Given:}$

$\textsf{Probability density function is}$

$\mathsf{f(x)=3x^2,\;\;0\leq\,x\leq\;1}$

$\mathsf{P(X\leq\,a)=P(X\,>\,a)\;\;and}$

$\mathsf{P(X\,>\,b)=0.05}$

$\textbf{To find:}$

$\textsf{Values of a and b}$

$\textbf{Solution:}$

$\textsf{Consider,}$

$\mathsf{P(X\leq\,a)=P(X\,>\,a)}$

$\mathsf{P(X\leq\,a)=1-P(X\leq\,a)}$

$\mathsf{2\;P(X\leq\,a)=1}$

$\mathsf{2\;\int\limits^{a}_0\,f(x)\,dx=1}$

$\mathsf{2\;\int\limits^{a}_0\,3x^2\,dx=1}$

$\mathsf{6\;\int\limits^{a}_0\,x^2\,dx=1}$

$\mathsf{6\left(\dfrac{x^3}{3}\right)^a_0=1}$

$\mathsf{2(x^3)^a_0=1}$

$\mathsf{(x^3)^a_0=\dfrac{1}{2}}$

$\mathsf{a^3-0=\dfrac{1}{2}}$

$\mathsf{a^3=0.5}$

$\implies\boxed{\mathsf{a=(0.5)^\frac{1}{3}}}$

$\mathsf{Consider,}$

$\mathsf{P(X\,>\,b)=0.05}$

$\mathsf{\int\limits^1_b\,f(x)\,dx=0.05}$

$\mathsf{\int\limits^1_b\,3x^2\,dx=0.05}$

$\mathsf{3\left(\dfrac{x^3}{3}\right)\limits^1_b=0.05}$

$\mathsf{(x^3)\limits^1_b=0.05}$

$\mathsf{1^3-b^3=0.05}$

$\mathsf{b^3=1-0.05}$

$\mathsf{b^3=0.95}$

$\implies\boxed{\mathsf{b=(0.95)^\frac{1}{3}}}$

Answer 2

Answer:

gud

Step-by-step explanation: