Math, asked by immrx09901, 3 months ago

A square matrix A is said to be idempotent if A2 = A. Let A be an idempotent matrix.

(a) Show that I - A is also idempotent.
(b) Show that if A is invertible, then A = I.
(c) Show that the only possible eigenvalues of A are 0 and 1. (Hint: Suppose x is an eigenvector with associated eigenvalue A and then multiply x on the left by A twice.)​

Answers

Answered by MaheswariS
28

\textbf{Given:}

\textsf{A is a idempotent matrix}

\textbf{To show:}

\textsf{1. I-A is also idempotent matrxi}

\textsf{2. If A is invertible, then A=I}

\textsf{3. The only possible eigen values are of A are 0 and 1}

\textbf{Solution:}

\textsf{Since A is idempotent, we have}

\mathsf{A^2=A}

\mathsf{1.}

\mathsf{(I-A)^2=I^2+A^2-2\,IA}

\mathsf{(I-A)^2=I+A-2\,A}

\mathsf{(I-A)^2=I-A}

\implies\mathsf{I-A\;is\;idempotent}

\mathsf{2.\;Since\;A\;is\;invertible,\;A^{-1}\;exists}

\mathsf{A^2=A}

\mathsf{Multiply\;bothsides\;by\;A^{-1}}

\mathsf{A^{-1}(AA)=A^{-1}A}

\mathsf{(A^{-1}A)A=A^{-1}A}

\mathsf{I\,A=I}

\implies\mathsf{A=I}

\mathsf{3.}

\mathsf{Let\;\lambda\;be\;the\;eigen\;value\;of\;A\;corresponding\;to\;the\;vector\;v}

\mathsf{Then,\;A\,v=\lambda\,v}

\implies\mathsf{A^2\,v=\lambda\,v}

\implies\mathsf{A(A\,v)=\lambda\,v}

\implies\mathsf{A(\lambda\,v)=\lambda\,v}

\implies\mathsf{\lambda(A\,v)=\lambda\,v}

\implies\mathsf{\lambda(\lambda\,v)=\lambda\,v}

\implies\mathsf{{\lambda^2}\,v=\lambda\,v}

\implies\mathsf{{\lambda^2}\,v-\lambda\,v=0}

\implies\mathsf{({\lambda^2}-\lambda)v=0}

\mathsf{But,\;v\,{\neq}\,0}

\implies\mathsf{{\lambda^2}-\lambda=0}

\implies\mathsf{\lambda(\lambda-1)=0}

\implies\mathsf{\lambda=0,\;1}

\therefore\textsf{The only eigen values of A are 0 and 1}

\textbf{Find more:}

The lowest eigen value of the matrix [4 2

1 3]

https://brainly.in/question/38904041

Answered by mahek77777
11

 \huge \purple{\fbox \blue{\fbox\pink{\fbox\red{solution }}}}

\textbf{Given:}

\textsf{A is a idempotent matrix}

\textbf{To show:}

\textsf{1. I-A is also idempotent matrxi}

\textsf{2. If A is invertible, then A=I}

\textsf{3. The only possible eigen values are of A are 0 and 1}

\textbf{Solution:}

\textsf{Since A is idempotent, we have}

\mathsf{A^2=A}

\mathsf\red{1.}

\mathsf{(I-A)^2=I^2+A^2-2\,IA}

\mathsf{(I-A)^2=I+A-2\,A}

\mathsf{(I-A)^2=I-A}

\implies\mathsf{I-A\;is\;idempotent}

\mathsf\red{2.\;Since\;A\;is\;invertible,\;A^{-1}\;exists}

\mathsf{A^2=A}

\mathsf{Multiply\;bothsides\;by\;A^{-1}}

\mathsf{A^{-1}(AA)=A^{-1}A}

\mathsf{(A^{-1}A)A=A^{-1}A}

\mathsf{I\,A=I}

\implies\mathsf{A=I}

\mathsf\red{3.}

\mathsf{Let\;\lambda\;be\;the\;eigen\;value\;of\;A\;corresponding\;to\;the\;vector\;v}

\mathsf{Then,\;A\,v=\lambda\,v}

\implies\mathsf{A^2\,v=\lambda\,v}

\implies\mathsf{A(A\,v)=\lambda\,v}

\implies\mathsf{A(\lambda\,v)=\lambda\,v}

\implies\mathsf{\lambda(A\,v)=\lambda\,v}

\implies\mathsf{\lambda(\lambda\,v)=\lambda\,v}

\implies\mathsf{{\lambda^2}\,v=\lambda\,v}

\implies\mathsf{{\lambda^2}\,v-\lambda\,v=0}

\implies\mathsf{({\lambda^2}-\lambda)v=0}

\mathsf{But,\;v\,{\neq}\,0}

\implies\mathsf{{\lambda^2}-\lambda=0}

\implies\mathsf{\lambda(\lambda-1)=0}

\implies\mathsf{\lambda=0,\;1}

\pink\therefore\textsf\pink{The only eigen values of A are 0 and 1}

Similar questions