Question

A square matrix A is said to be idempotent if A2 = A. Let A be an idempotent matrix.

(a) Show that I - A is also idempotent.
(b) Show that if A is invertible, then A = I.
(c) Show that the only possible eigenvalues of A are 0 and 1. (Hint: Suppose x is an eigenvector with associated eigenvalue A and then multiply x on the left by A twice.)​

Answer 1

$\textbf{Given:}$

$\textsf{A is a idempotent matrix}$

$\textbf{To show:}$

$\textsf{1. I-A is also idempotent matrxi}$

$\textsf{2. If A is invertible, then A=I}$

$\textsf{3. The only possible eigen values are of A are 0 and 1}$

$\textbf{Solution:}$

$\textsf{Since A is idempotent, we have}$

$\mathsf{A^2=A}$

$\mathsf{1.}$

$\mathsf{(I-A)^2=I^2+A^2-2\,IA}$

$\mathsf{(I-A)^2=I+A-2\,A}$

$\mathsf{(I-A)^2=I-A}$

$\implies\mathsf{I-A\;is\;idempotent}$

$\mathsf{2.\;Since\;A\;is\;invertible,\;A^{-1}\;exists}$

$\mathsf{A^2=A}$

$\mathsf{Multiply\;bothsides\;by\;A^{-1}}$

$\mathsf{A^{-1}(AA)=A^{-1}A}$

$\mathsf{(A^{-1}A)A=A^{-1}A}$

$\mathsf{I\,A=I}$

$\implies\mathsf{A=I}$

$\mathsf{3.}$

$\mathsf{Let\;\lambda\;be\;the\;eigen\;value\;of\;A\;corresponding\;to\;the\;vector\;v}$

$\mathsf{Then,\;A\,v=\lambda\,v}$

$\implies\mathsf{A^2\,v=\lambda\,v}$

$\implies\mathsf{A(A\,v)=\lambda\,v}$

$\implies\mathsf{A(\lambda\,v)=\lambda\,v}$

$\implies\mathsf{\lambda(A\,v)=\lambda\,v}$

$\implies\mathsf{\lambda(\lambda\,v)=\lambda\,v}$

$\implies\mathsf{{\lambda^2}\,v=\lambda\,v}$

$\implies\mathsf{{\lambda^2}\,v-\lambda\,v=0}$

$\implies\mathsf{({\lambda^2}-\lambda)v=0}$

$\mathsf{But,\;v\,{\neq}\,0}$

$\implies\mathsf{{\lambda^2}-\lambda=0}$

$\implies\mathsf{\lambda(\lambda-1)=0}$

$\implies\mathsf{\lambda=0,\;1}$

$\therefore\textsf{The only eigen values of A are 0 and 1}$

$\textbf{Find more:}$

The lowest eigen value of the matrix [4 2

1 3]

https://brainly.in/question/38904041

Answer 2

$\huge \purple{\fbox \blue{\fbox\pink{\fbox\red{solution }}}}$

$\textbf{Given:}$

$\textsf{A is a idempotent matrix}$

$\textbf{To show:}$

$\textsf{1. I-A is also idempotent matrxi}$

$\textsf{2. If A is invertible, then A=I}$

$\textsf{3. The only possible eigen values are of A are 0 and 1}$

$\textbf{Solution:}$

$\textsf{Since A is idempotent, we have}$

$\mathsf{A^2=A}$

$\mathsf\red{1.}$

$\mathsf{(I-A)^2=I^2+A^2-2\,IA}$

$\mathsf{(I-A)^2=I+A-2\,A}$

$\mathsf{(I-A)^2=I-A}$

$\implies\mathsf{I-A\;is\;idempotent}$

$\mathsf\red{2.\;Since\;A\;is\;invertible,\;A^{-1}\;exists}$

$\mathsf{A^2=A}$

$\mathsf{Multiply\;bothsides\;by\;A^{-1}}$

$\mathsf{A^{-1}(AA)=A^{-1}A}$

$\mathsf{(A^{-1}A)A=A^{-1}A}$

$\mathsf{I\,A=I}$

$\implies\mathsf{A=I}$

$\mathsf\red{3.}$

$\mathsf{Let\;\lambda\;be\;the\;eigen\;value\;of\;A\;corresponding\;to\;the\;vector\;v}$

$\mathsf{Then,\;A\,v=\lambda\,v}$

$\implies\mathsf{A^2\,v=\lambda\,v}$

$\implies\mathsf{A(A\,v)=\lambda\,v}$

$\implies\mathsf{A(\lambda\,v)=\lambda\,v}$

$\implies\mathsf{\lambda(A\,v)=\lambda\,v}$

$\implies\mathsf{\lambda(\lambda\,v)=\lambda\,v}$

$\implies\mathsf{{\lambda^2}\,v=\lambda\,v}$

$\implies\mathsf{{\lambda^2}\,v-\lambda\,v=0}$

$\implies\mathsf{({\lambda^2}-\lambda)v=0}$

$\mathsf{But,\;v\,{\neq}\,0}$

$\implies\mathsf{{\lambda^2}-\lambda=0}$

$\implies\mathsf{\lambda(\lambda-1)=0}$

$\implies\mathsf{\lambda=0,\;1}$

$\pink\therefore\textsf\pink{The only eigen values of A are 0 and 1}$