आकृति 10.13 में XY तथा X'Y', O केंद्र वाले किसी वृत्त पर दो समांतर स्पर्श रेखाएँ हैं और स्पर्श बिन्दु C पर स्पर्श रेखा AB, XY को A तथा X'Y' को B पर प्रतिच्छेद करती है | सिद्ध कीजिए की angle AOB = 90° है |
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Answers
Answer with Step-by-step explanation:
दिया है :
XY तथा X'Y', O केन्द्र वाले किसी वृत्त पर दो समांतर स्पर्श रेखाएँ हैं और स्पर्श बिन्दु C पर स्पर्श रेखा AB, XY को A तथा X'Y' को B पर प्रतिच्छेद करती है।
सिद्ध करना है :
∠ AOB = 90°
रचना :
बिंदु O को C से मिलाया गया है।
उपपति्त :
Δ OPA और Δ OCA में,
OP = OC [ वृत्त की त्रिज्याएँ हैं।]
AP = AC
[वाह्य बिंदु से किसी वृत्त पर खींची गई दोनों स्पर्श रेखाओं की लंबाइयां समान होती हैं]
AO = AO [उभयनिष्ठ भुजा है]
Δ OPA ≅ Δ OCA [SSS समरूपता के आधार पर]
अत:, ∠ POA = ∠ COA (CPCT) ………. (1)
उसी तरह, Δ OQB ≅ Δ OCB
अत:, ∠ QOB = ∠ COB ………….. (2)
POQ वृत्त का व्यास है, अर्थात POQ एक सरल रेखा है।
अत:, ∠ POA + ∠ COA + ∠ COB + ∠ QOB = 180°
⇒ ∠COA + ∠COA + ∠COB +∠ QOB = 180°
[समीकरण (1) से]
⇒ 2∠ COA + ∠ COB + ∠ QOB = 180°
⇒ 2∠ COA + + ∠ COB + ∠ COB = 180°
[समीकरण (2) से]
⇒ 2 ∠ COA + 2 ∠ COB = 180°
⇒ 2 (∠ COA + ∠ COB) = 180°
⇒ ∠ COA + ∠COB = 180/2
⇒ ∠COA + ∠COB = 90°
अब चूँकि, ∠ AOB = ∠COA + ∠COB
∴ ∠ AOB = 90°
अतः, ∠ AOB = 90°
आशा है कि यह उत्तर आपकी अवश्य मदद करेगा।।।।
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