Math, asked by maahira17, 1 year ago

आकृति 10.13 में XY तथा X'Y', O केंद्र वाले किसी वृत्त पर दो समांतर स्पर्श रेखाएँ हैं और स्पर्श बिन्दु C पर स्पर्श रेखा AB, XY को A तथा X'Y' को B पर प्रतिच्छेद करती है | सिद्ध कीजिए की angle AOB = 90° है |

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Answered by nikitasingh79
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Answer with Step-by-step explanation:

दिया है :  

XY तथा X'Y', O केन्द्र वाले किसी वृत्त पर दो समांतर स्पर्श रेखाएँ हैं और स्पर्श बिन्दु C पर स्पर्श रेखा AB, XY को A तथा X'Y' को B पर प्रतिच्छेद करती है।  

सिद्ध करना है :  

∠ AOB = 90°

रचना :  

बिंदु O को C से मिलाया गया है।

उपपति्त :  

Δ OPA और Δ OCA में,

OP = OC  [ वृत्त की त्रिज्याएँ हैं।]

AP = AC

[वाह्य बिंदु से किसी वृत्त पर खींची गई दोनों स्पर्श रेखाओं की लंबाइयां समान होती हैं]

AO = AO  [उभयनिष्ठ भुजा है]

Δ OPA ≅ Δ OCA  [SSS समरूपता के आधार पर]

अत:, ∠ POA = ∠ COA  (CPCT) ………. (1)

उसी तरह, Δ OQB ≅ Δ OCB

अत:, ∠ QOB = ∠ COB ………….. (2)

POQ वृत्त का व्यास है, अर्थात POQ एक सरल रेखा है।

अत:, ∠ POA + ∠ COA + ∠ COB + ∠ QOB = 180°

⇒ ∠COA + ∠COA + ∠COB +∠ QOB = 180°

[समीकरण (1) से]

⇒ 2∠ COA  + ∠ COB + ∠ QOB = 180°

⇒ 2∠ COA + + ∠ COB + ∠ COB = 180°

[समीकरण (2) से]

⇒ 2 ∠ COA + 2 ∠ COB = 180°

⇒ 2 (∠ COA + ∠ COB) = 180°

⇒ ∠ COA + ∠COB = 180/2  

⇒ ∠COA + ∠COB = 90°

अब चूँकि, ∠ AOB = ∠COA + ∠COB

∴ ∠ AOB = 90°

अतः, ∠ AOB = 90°

आशा है कि यह उत्तर आपकी अवश्य मदद करेगा।।।।

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