Question

आकृति 6.53 में ABD एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण ।समकोण है तथा $AC \bot BD$ है। दर्शाइए कि
(i) $AB^2 = BC.BD$
(ii) $AC^2 = BC.DC$
(iii) $AD^2 = BD.CD$

Answer 1

(i) त्रिभुज BAD तथा त्रिभुज BAC में,

∠BAD=∠ACB [चूँकि दोनों कोण बराबर हैं 90° ]

∠DBA=∠CBA [∵ दोनों कोण उभयनिष्ठ हैं।]

अत: A-A (कोण-कोण) कसौटी के आधार पर,

∆BAD $\sim$ ∆BAC

अत:, AB/BC=BD/AB

बज्र गुणन से हम पाते हैं, AB² =BC⋅BD 

(ii) त्रिभुज BAC तथा त्रिभुज ADC में,

∠ACB=∠DCA [∵ दोनों समकोण हैं।]

अब, ∠CBA=180° −(∠BAC+∠ADC)

⇒CBA=180° −(90° + ∠ADC)

[∵ ABD एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण ∠Aसमकोण है (प्रश्न के अनुसार)]

⇒∠CBA=90° −∠ADC ---------- (i)

अब, ∠CAD=180° −(∠ACD+∠ADC)

⇒∠CAD=180°− (90° + ∠ADC)

⇒∠CAD=90° −∠ADC -----------(ii)

समीकरण (i) तथा (ii) से,

∠CBA=∠CAD ------------- (iii)

त्रिभुज BAC तथा त्रिभुज ADC में,

∠CBA=∠CAD [समीकरण (iii) से]

तथा, ∠ACB=∠DCA [∵ दोनों समकोण हैं]

अत: A-A (कोण-कोण) समरूपता की कसौटी के आधार पर,

∆BAC $\sim$ ∆CAD

अत: AC/BC=DC/AC ⇒AC² = BD.DC 

(iii) ∆ADB तथा ∆ADC में,

∠BAD=∠ACD [∵ दोनों समकोण हैं।]

∠CDA=∠BDA [उभयनिष्ठ कोण हैं]

अत: AA (कोण-कोण) समरूपता की कसौटी के आधार पर

∆ADB$\sim$∆ADC

अत: AD/BD=CD/AD

या, AD × AD = BD × CD

या, AD² =BD⋅CD.