Question

आकृति 6.57 में D त्रिभुज ABC के कर्ण AC पर स्थित एक बिन्दु है तथा DM |BC और DN | AB है | सिद्ध कीजिए कि
(i) DM2 = DN.MC
(ii) DN2 = DM.AN

Answer 1

Question :

आकृति 6.57 में D त्रिभुज ABC के कर्ण AC पर स्थित एक बिंदु है जबकि BD⊥AC  तथा DM⊥BC  तथा DN⊥AB है। सिद्ध कीजिए कि

(i) DM ² = DN × MC

(ii) DN ² = AN × DM    

Answer:

दिया है : D त्रिभुज ABC के कर्ण AC पर स्थित एक बिन्दु है जबकि  

BD ⊥ AC  तथा  DM⊥BC  और  DN⊥AB   है। अत: DN || BC तथा DM || AB तथा ∠MDN = ∠DMB = ∠MBN=∠BND= 90°

अत: MBND एक चतुर्भुज है। इसलिए DN = MB , DM = NB

 

BD ⊥ AC  

ㄥBDC = 90°

ㄥBDM + ㄥMDC = 90°..................(1)

 

ΔDMC में ,

ㄥDMC = 90°     [DM⊥BC]

 

ㄥC + ㄥMDC = 90°………..(2)

समी (1) और (2) से ,

ㄥBDM + ㄥMDC = ㄥC + ㄥMDC

ㄥBDM  = ㄥC  

 अब, ΔBMD और ΔMDC में,  

ㄥBDM  = ㄥC  

( ऊपर प्रमाणित किया गया है )

ㄥBMD = ㄥ MDC ( ऊपर सिद्ध किया गया है )

ΔBMD ~ ΔMDC [AA समरूपता कसौटी से]

 

DM/BM = MC/DM

[समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएं समानुपाती होती हैं]

DM ² = BM × MC

DM ² = DN × MC   [BM = DN]

(ii)

इसी प्रकार , ΔNDA ~ ΔNBD

AN/DN = DN/BN

[समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएं समानुपाती होती हैं]

DN ² = AN × BN

DN ² = AN × DM  [NB = DM]

 आशा है कि यह उत्तर आपकी अवश्य मदद करेगा।।।।

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