Question

आकृति 6.60 में AD त्रिभुज ABC एक माध्यिका है तथा AM $\bot$BCहै । सिद्ध कीजिए कि
(i) $AC^2 = AD^2 + BC . DM +(\frac{BC}{2}) ^2$
(ii) $AB^2 = AD^2 - BC . DM +(\frac{BC}{2}) ^2$
(iii)$AC^2 + AB^2 = 2AD^2 BC \frac{1}{2} BC^2$

Answer 1

माना एक त्रिभुज ABC है जिसमें BC रेखाखंड पर AM लंब है तथा एक माध्यिका AD है हम जानते हैं किसी रेखाखंड पर डाला गया लंब 90 अंश का होता है

1. ΔAMD में ,
पाइथागोरस प्रमेय से
AD² = AM² + MD² ..................(1)
इसी प्रकार
ΔAMC में,
AC² = AM² + MC²
AC² = AM² + (MD + DC) ²
AC² = (AM² + MD²) + DC² + 2MD.DC .....समीकरण (1) से

प्रश्न अनुसार - DC = BC/2
अतः AC² = (AD) ² +(BC/2)²+2MD. (BC/2)
AC² = AD² + (BC/2)² + MD. BC


2. ΔABM में,
पाइथागोरस प्रमेय से,
AB² = AM² +MB²
AB² = (AD²-DM²)+(BD-MD) ²
AB² = AD² - DM² + BD² + MD² -2 BD×MD
AB² = AD² + BD² -2BD×MD
AB² =AD² + ( BC/2) ² - 2(BC/2)×MD
AB² = AD² + (BC/2)² -BC×MD

3.ΔABM में,

पाइथागोरस प्रमेय से
AB² = AM²+MB² ..................(2)
इसी प्रकार
ΔAMC में
AC² = AM² + MC² ................(3)

समीकरण 2 और 3 को जोड़ने पर

2AM² + MB² + MC² = AB² + AC²
2AM² + (BD-DM) ² + (MD+DC)² = AB²+AC²
2AM² + BD ²+ DM² - 2BD . DM+ MD² + DC² + 2MD . DC = AB ²+ AC ²
2AM² + 2MD ²+ BD²+ DC ²+ 2MD ( - BD + DC ) = AB² + AC²
2(AM²+MD²)+(BC/2)²+(BC/2)²+2MD(-BC/2 + BC/2) = AC² + AB²
2AD² + BC²/2= AB²+AC²