आकृति 6.60 में AD त्रिभुज ABC की एक माध्यिका है तथा AM ⊥ BC है | सिद्ध कीजिए की
(i) AC² = AD² + MD. BC + (BC/2)²
(ii) AB² = AD² - BC× MD + (BC/2)²
(iii) AC² + AB² = 2AD² + 1/2BC²
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Answer:
दिया है :
AD त्रिभुज ABC की एक माध्यिका है तथा AM ⊥ BC है।
सिद्ध करना है :
(i) AC² = AD² + MD. BC + (BC/2)²
(ii) AB² = AD² - BC× MD + (BC/2)²
(iii) AC² + AB² = 2AD² + 1/2BC²
उपपत्ति :
(i) समकोण ΔAMD में ,पाइथागोरस प्रमेय से,
AD² = AM² + MD².............(1)
इसी प्रकार, समकोण ΔAMC में,
AC² = AM² + MC²
AC² = AM² + (MD + DC)²
[MC = MD + DC]
AC² = AM² + MD² + DC² + 2MD.DC
[(a + b)² = a² + b² + 2ab ]
AC² = AD² + DC² + 2MD.DC
[समी (1) से]
AD त्रिभुज ABC की माध्यिका है, अत: BD = DC = BC/2
AC² = (AD) ² +(BC/2)² + 2MD. (BC/2)
AC² = AD² + (BC/2)² + MD. BC
AC² = AD² + MD. BC + (BC/2)² ………..(2)
(ii) समकोण ΔAMD में ,पाइथागोरस प्रमेय से,
AD² = AM² +MD²
AM² = AD² - MD².............(3)
अब, समकोण ΔABM में,पाइथागोरस प्रमेय से,
AB² = AM² + MB²
AB² = (AD² - DM²)+ MB²
[समी (3) से]
AB² = (AD² - DM²) + (BD - MD) ²
[MB = BD - MD ]
AB² = AD² - DM² + BD² + MD² -2 BD×MD
[(a - b)² = a² + b² - 2ab ]
AB² = AD² + BD² -2BD × MD
AD त्रिभुज ABC की माध्यिका है, अत: BD = DC = BC/2
AB² = AD² + ( BC/2)² - 2(BC/2) × MD
AB² = AD² - BC× MD + (BC/2)² ………..(4)
(iii) समी (2) और (4) को जोड़ने पर,
AC² + AB² = AD² + AD² + BC× MD - BC× MD + (BC/2)² + (BC/2)²
AC² + AB² = 2AD² + BC²/4 + BC²/4
AC² + AB² = 2AD² + (BC²+ BC²)/4
AC² + AB² = 2AD² + 2BC²/4
AC² + AB² = 2AD² + 1/2BC²
आशा है कि यह उत्तर आपकी अवश्य मदद करेगा।।।।
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