Question

आकृति में ΔABC के अभ्यंतर में स्थित कोई बिंदु O है तथा OD⊥ BC, OE⊥AC और OF⊥ AB है |
दर्शाइए कि
(i) OA2 + OB2 + OC2 – OD2 – OE2 – OF2 = AF2 + BD2 + CE2
(ii) AF2 + BD2 + CE2 = AE2 + CD2 + BF2

Answer 1

Answer:

(i) दिया है : ABC एक ∆ है जिसके अभ्यंतर में स्थित बिंदु O है ।

रचना : OA, OC तथा OB को मिलाया गया  

अब , समकोण ∆ AFO में,पाइथागोरस प्रमेय से,  

OA² = AF² + OF²

AF² = OA² – OF² ………….(1)

समकोण ∆ OCE में,पाइथागोरस प्रमेय से,  

OC² = CE² + OE²

CE² = OC² – OE² ………….(2)

समकोण ∆ BDO में,

OB² = OD² + BD²

BD² = OB² – OD² …………..(3)

अब समीकरण (1), (2) तथा (3) को जोड़ने पर,

AF² + BD² + CE²

= (OA² – OF ²) + (OC² – OE²) + (OB² – OD²)

AF² + BD² + CE² = OA²  + OB² + OC²  - OD² – OE²  – OF² …………….(4)

 

(ii) AF² + BD² + CE²  = AE² + CD² + BF²

समीकरण (4) से,

AF² + BD² + CE² = OA² + OB² + OC² – OD² – OE² – OF²

= (OA² – OE²) + (OC² – OD²)+ (OB² – OF²)

अब, समकोण ∆ AEO, ∆DCO, ∆BFO से, पाइथागोरस प्रमेय के द्वारा

AE² = OA² - OE² ,

CD² = OC² - OD²,

BF² = OB² - OF² ,

अतः, AF² + BD² + CE²  = AE² + CD² + BF²

आशा है कि यह उत्तर आपकी अवश्य मदद करेगा।।।।

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