Question

ABCD एक चतुर्भुज है जिसमें P, Q R और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं। (देखिए आकृति 8.29)I AC उसका एक विकर्ण है। दर्शाइए कि
(i)$SR \parallel AC$ और $SR = \frac{1}{2}AC$ है।
(ii) $PQ = SR$ है।
(iii) PQRS एक समांतर चतुर्भुज है।

Answer 1

Answer:

Step-by-step explanation:

दिया है :

ABCD एक चतुर्भुज है जिसमें P, Q R और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं।

∴ AP = BP , BQ = CQ , CR = DR तथा AS = DS

 

सिद्ध करना है :

(i) SR || AC और SR =1/2 AC  

(ii) PQ = SR  

(iii) PQRS एक समांतर चतुर्भुज है।  

 

उपपत्ति :    

(i)  △ADC में, दिया है  

S भुजा AD का मध्य बिंदु है तथा R भुजा DC का मध्य बिंदु है।

हम जानते हैं कि किसी त्रिभुज में दो भुजाओं के मध्य बिंदु को मिलाने वाले रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर होता है।

∴ मध्य बिंदु प्रमेय से,  

SR || AC...........(i)

साथ ही  SR = ½ AC........(ii)

 

(ii) इसी प्रकार ,  △ABC में,  

P भुजा AB का मध्य बिंदु है तथा Q भुजा BC का मध्य बिंदु है।

∴ मध्य बिंदु प्रमेय से,  

PQ || AC ..........(iii)

साथ ही  PQ= 1/2AC........(iv)

अब समी (ii) तथा (iv) से  

SR = PQ = 1/2AC...... (V)

 

(iii) अब समी (i) तथा (iii) से  

PQ || SR  

तथा  समी (V) से ,

PQ = SR

चूंकि चतुर्भुज PQRS सम्मुख भुजाओं का युग्म बराबर का समान है। इसलिए PQRS एक समांतर चतुर्भुज है।

आशा है कि यह उत्तर आपकी मदद करेगा।।।।

 

इस पाठ से संबंधित कुछ और प्रश्न :

ABCD एक समलंब है, जिसमें $AB \parallel CD$ और $AD = BC$ है (देखिए आकृति 8.23)। दर्शाइए कि

(i) $\angle A = \angle B$

(ii) $\angle C = \angle D$

(iii) $\Delta ABC \cong \Delta BAD$

(iv) विकर्ण AC=विकर्ण BD है।

[संकेत: AB को बढ़ाइए और C से होकर DA के समांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ी हुई भुजा AB को E पर प्रतिच्छेद करे।]

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$\Delta ABC$ और $\Delta DEF$, $AB = DE$, $AB \parallel DE$,

$BC = EF$, $BC \parallel EF$ है। शीर्षों A, B और C को क्रमश: शीर्षों D, E और F से जोड़ा जाता है (देखिए आकृति 8.22)। दर्शाइए कि

(i) चतुर्भुज ABED एक समांतर चतुर्भुज है।

(ii) चतुर्भुज BEFC एक समांतर चतुर्भुज है।

(iii) $AD \parallel CF$ और $AD = CF$ है।

(iv) चतुर्भुज ACFD एक समांतर चतुर्भुज है।

(v) $AC = DF$

(vi) $\Delta ABC \cong \Delta DEF$ है।  

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