Question

ABCD एक समलंब है, जिसमें $AB \parallel CD$ और $AD = BC$ है (देखिए आकृति 8.23)। दर्शाइए कि
(i) $\angle A = \angle B$
(ii) $\angle C = \angle D$
(iii) $\Delta ABC \cong \Delta BAD$
(iv) विकर्ण AC=विकर्ण BD है।
[संकेत: AB को बढ़ाइए और C से होकर DA के समांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ी हुई भुजा AB को E पर प्रतिच्छेद करे।]

Answer 1

Answer:

Step-by-step explanation:

दिया है :  

ABCD एक समलंब है, जिसमें  AB || CD & AD = BC

सिद्ध करना है :  

(i) ∠A = ∠B  

(ii) ∠C = ∠D  

(iii) ΔABC ≅ ΔBAD

(iv) विकर्ण AC = विकर्ण BD है।

 

रचना :

AB को बढ़ाइए और C से होकर DA के समांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ी हुई भुजा AB को E पर प्रतिच्छेद करे।

उपपत्ति :  

AB || CD     (दिया है)

AD || EC      (रचना से)

अब,  ADCE एक समांतर चतुर्भुज है।

∴ AD || CE तथा  CE = AD  

परन्तु  AD = BC   (दिया है)

∴ AD = BC = CE

(i)  हम जानते हैं कि, ∠A + ∠E = 180°

[तिर्यक रेखा AE के एक ही ओर के अंतः कोण है]

∠E = 180° - ∠A

चूंकि , BC = CE

∴ ∠E = ∠CBE= 180° -∠A

साथ ही , ∠ABC = 180° - ∠CBE

[ABE  एक सरल रेखा है ]

∠ABC = 180° - (180°-∠A)

∠ABC = 180° - 180°+ ∠A

∠B = ∠A…………….(i)

 

(ii) अब,  ∠A + ∠D = 180°

[तिर्यक रेखा AD के एक ही ओर के अंतः कोण है]

∠D = 180° - ∠A

∠D = 180° - ∠B ………….(2)

[समी (1) से]

साथ ही , ∠B + ∠C = 180°

[तिर्यक रेखा BC के एक ही ओर के अंतः कोण]

∠B + ∠C = 180°

∠C = 180° - ∠B………….(3)

समी (2) तथा (3) से

∠D = ∠C

 

(iii) ΔABC तथ ΔBAD में,

AB = AB   (उभयनिष्ठ)

∠DBA = ∠CBA    [समी (1) से]

AD = BC   (दिया है)

∴ ΔABC ≅ ΔBAD

(SAS सर्वांगसमता नियम द्वारा )

 

(iv)  चूंकि ΔABC ≅ ΔBAD

विकर्ण AC = विकर्ण BD है  (CPCT द्वारा)

आशा है कि यह उत्तर आपकी मदद करेगा।।।।

 

इस पाठ से संबंधित कुछ और प्रश्न :

$\Delta ABC$ और $\Delta DEF$, $AB = DE$, $AB \parallel DE$,

$BC = EF$, $BC \parallel EF$ है। शीर्षों A, B और C को क्रमश: शीर्षों D, E और F से जोड़ा जाता है (देखिए आकृति 8.22)। दर्शाइए कि

(i) चतुर्भुज ABED एक समांतर चतुर्भुज है।

(ii) चतुर्भुज BEFC एक समांतर चतुर्भुज है।

(iii) $AD \parallel CF$ और $AD = CF$ है।

(iv) चतुर्भुज ACFD एक समांतर चतुर्भुज है।

(v) $AC = DF$

(vi) $\Delta ABC \cong \Delta DEF$ है।  

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 ABCD एक समांतर चतुर्भज है तथा AP और CQ शीर्षों A और C से विकर्ण BD पर क्रमशः लम्ब हैं। (देखिए आकृति 8.21)। दर्शाइए कि

(i) $\Delta APB \cong \Delta CQD$

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