Question

answer pls..,.........,.....​

Answer 1

Solution:-

To find

$\rm \to \: \dfrac{1 + x}{1 + \sqrt{1 + x} } + \dfrac{1 - x}{1 - \sqrt{1 - x} }$

Given

$\rm \to \: x \: = \dfrac{ \sqrt{3} }{2}$

Now put the value of x in equation

$\rm \to \: \dfrac{1 + \dfrac{ \sqrt{ 3} }{2} }{1 + \sqrt{1 + \dfrac{ \sqrt{3} }{2} } } + \dfrac{1 - \dfrac{ \sqrt{ 3} }{2} }{1 - \sqrt{1 - \dfrac{ \sqrt{3} }{2} } }$

Now Take Lcm

$\rm \to \: \dfrac{ \dfrac{2 + \sqrt{3} }{2} }{1 + \sqrt{ \dfrac{2 + \sqrt{3} }{2} } } +\dfrac{ \dfrac{2 - \sqrt{3} }{2} }{1 - \sqrt{ \dfrac{2 - \sqrt{3} }{2} } }$

Now multiply and divide by 2

$\rm \to \: \dfrac{ \dfrac{2 + \sqrt{3} }{2} }{1 + \sqrt{ \dfrac{4 + 2\sqrt{3} }{4} } } +\dfrac{ \dfrac{2 - \sqrt{3} }{2} }{1 - \sqrt{ \dfrac{4 - 2\sqrt{3} }{4} } }$

We can write as

$\rm \to \: ( \sqrt{3} + 1) {}^{2} = 3 + 1 + 2 \sqrt{3} = 4 + 2 \sqrt{3}$

$\rm \to \: \dfrac{ \dfrac{2 + \sqrt{3} }{2} }{1 + \sqrt{ \dfrac{( \sqrt{3} + 1) {}^{2} }{4} } } + \dfrac{ \dfrac{2 - \sqrt{3} }{2} }{1 - \sqrt{ \dfrac{( \sqrt{3} - 1) {}^{2} }{4} } }$

$\rm \to \: \dfrac{ \dfrac{2 + \sqrt{3} }{2} }{1 + \dfrac{ \sqrt{3} + 1}{2} } + \dfrac{ \dfrac{2 - \sqrt{3} }{2} }{1 - \dfrac{ \sqrt{3} - 1}{2} }$

Take lcm

$\rm \to \: \dfrac{ \dfrac{2 + \sqrt{3} }{2} }{ \dfrac{2 + 1 + \sqrt{3} }{2} } + \dfrac{ \dfrac{2 - \sqrt{3} }{2} }{ \dfrac{2 + 1 - \sqrt{3} }{2} }$

$\rm \to \: \dfrac{ \dfrac{2 + \sqrt{3} }{2} }{ \dfrac{3 + \sqrt{3} }{2} } + \dfrac{ \dfrac{2 - \sqrt{3} }{2} }{ \dfrac{3 - \sqrt{3} }{2} }$

$\rm \to \: \dfrac{ \dfrac{2 + \sqrt{3} }{ \cancel2} }{ \dfrac{3 + \sqrt{3} }{ \cancel2} } + \dfrac{ \dfrac{2 - \sqrt{3} }{ \cancel2} }{ \dfrac{3 - \sqrt{3} }{ \cancel2} }$

$\rm \to \: \dfrac{2 + \sqrt{3} }{3 + \sqrt{3} } + \dfrac{2 - \sqrt{3} }{3 - \sqrt{3} }$

$\rm \to \: \dfrac{2 + \sqrt{3} + 1 - 1}{3 + \sqrt{3} } + \dfrac{2 - \sqrt{3} + 1 - 1 }{3 - \sqrt{3} }$

$\rm \to \: \dfrac{3 + \sqrt{3} - 1}{3 + \sqrt{3} } + \dfrac{3- \sqrt{3} - 1 }{3 - \sqrt{3} }$

$\rm \to \: \dfrac{3 + \sqrt{3} }{3 + \sqrt{3} } - \dfrac{1}{3 + \sqrt{3} } + \dfrac{3 - \sqrt{3} }{3 - \sqrt{3} } - \dfrac{1}{3 - \sqrt{3} }$

$\rm \to \: 1 - \dfrac{1}{3 + \sqrt{3} } + 1 - \dfrac{1}{3 - \sqrt{3} }$

$\rm \to \: 2 - \bigg( \dfrac{1}{3 + \sqrt{3} } + \dfrac{1}{3 - \sqrt{3} } \bigg)$

$\rm \to \: 2 - \bigg( \dfrac{3 - \sqrt{3} + 3 + \sqrt{3} }{(3 + \sqrt{3})(3 - \sqrt{3} )} \bigg)$

$\rm \to \: 2 - \bigg( \dfrac{6}{9 - 3} \bigg)$

$\rm \to \: 2 - 1 = 1$

Answer:- 1