Question

any one can solve this Q

Answer 1

$\underline{\underline{\mathfrak{\Large{Solution : }}}}$



$\underline{\textsf{Given : }} \\ \\ \sf \implies tan \: \theta \: = \: \dfrac{a}{b} \\ \\ \underline{\textsf{To Prove :}} \\ \\ \sf \implies \dfrac{a \: sin \: \theta \: - \: b \: cos \: \theta}{a \: sin \: \theta \: + \: b \: cos \: \theta } \: = \: \dfrac{a^2 \: - \: b^2}{a^2 \: + \: b^2}$





$\underline{\textsf{Method 1 : }}$




$\underline{\textsf{Let,}} \\ \\ \sf \implies \dfrac{a \: sin \: \theta \: - \: b \: cos \: \theta}{a \: sin \: \theta \: + \: b \: cos \: \theta } \: = \: \dfrac{k}{1}$


$\textsf{Applying Componendo and Dividendo , } \\ \\ \\ \sf \implies \dfrac{(a \: sin \: \theta \: - \: b \: cos \: \theta) \: + \: (a \: sin \: \theta \: + \: b \: cos \: \theta )} {(a \: sin \: \theta \: - \: b \: cos \: \theta) \: - \: (a \: sin \: \theta \: + \: b \: cos \: \theta) } \: = \: \dfrac{k \: + \: 1 }{k \: - \: 1 } \\ \\ \\ \sf\implies \dfrac{a \: sin \: \theta \: - \: \cancel{b \: cos \: \theta }\: + \: a \: sin \: \theta \: + \: \cancel{b \: cos \: \theta} } { \cancel{a \: sin \: \theta }\: - \: b \: cos \: \theta \: - \: \cancel{a \: sin \: \theta} \: - \: b \: cos \: \theta} \: = \: \dfrac{k \: + \: 1 }{k \: - \: 1 } \\ \\ \sf \implies \: \dfrac{ \cancel{2}a \: sin \: \theta}{ - \cancel{2}b \: cos \: \theta} \: = \: \dfrac{k \: + \: 1}{ k \: - \: 1} \\ \\ \\ \sf \implies \dfrac{a}{ - b} tan \: \theta \: = \: \dfrac{k \: + \: 1}{k \: - \: 1}$



$\sf \implies \dfrac{a}{ - b} \: \times \: \dfrac{a}{b} \: = \: \dfrac{k \: + \: 1 }{k \: - \: 1 } \\ \\ \sf \implies \dfrac{a^2}{ - b^2} \: = \: \dfrac{k \: + \: 1}{k \: - \: 1 } \\ \\ \sf \implies a^2( k \: - \: 1 ) \: = \: - b^2(k \: + \: 1 ) \\ \\ \sf \implies a^2k \: - \: a^2 \: = \: - b^2 k \: - \: b^2 \\ \\ \sf \implies a^2k \: + \: b^2k \: = \: a^2 \: - \: b^2 \\ \\ \sf \implies k(a^2 \: + \: b^2) \: = \: a^2 \: - \: b^2 \\ \\ \sf \: \: \therefore \: \: k \: = \: \dfrac{a^2 \: - \: b^2}{a^2 \: + \: b^2} \\ \\ \underline{\underline{\mathsf{\Large{Proved !! }}}}$




$\underline{\textsf{Method 2 : }}$



$\underline{\textsf{Let,}} \\ \\ \sf \implies \dfrac{a \: sin \: \theta \: - \: b \: cos \: \theta}{a \: sin \: \theta \: + \: b \: cos \: \theta } \: = \: k$



$\sf Multiply \: the \: numerator \: and \: denominator \: \\ \sf of \: LHS \: by \: cos \: \theta .$



$\sf \implies \dfrac{ \: \: \: \: \: \: \dfrac{a \: sin \: \theta \: - \: b \: cos \: \theta}{cos \: \theta} \: \: \: \: \: \: }{ \dfrac{a \: sin \: \theta \: + \: b \: cos \: \theta }{cos \: \theta}} \: = \: k \\ \\ \\ \sf \implies \dfrac{ \: \: \: \: \: \: \dfrac{a \: sin \: \theta }{cos \: \theta}\: - \: b \cancel{\dfrac{cos \: \theta}{cos \: \theta}} \: \: \: \: \: \: }{ \dfrac{a \: sin \: \theta }{cos \: \theta}\: + \: b \cancel{\dfrac{ cos \: \theta }{cos \: \theta}}} \: = \: k$



$\sf \implies \dfrac{\quad a \: tan \: \theta \: - \: b }{a \: tan \: \theta \: + \: b} \: = \: k \\ \\ \\ \sf \implies \dfrac{a \: \times \: \dfrac{a}{b} \: - \: b }{ a \: \times \: \dfrac{a}{b} \: + \: b } \: = \: k \\ \\ \\ \sf \implies \dfrac{ \dfrac{ {a}^{2} }{ {b} } \: - \: b }{ \dfrac{ {a}^{2} }{b} \: + \: b } \: = \: k \\ \\ \\ \sf \implies \dfrac{ \dfrac{ {a}^{2} \: - \: {b}^{2} }{ \cancel{b}} }{ \dfrac{ {a}^{2} \: + \: {b}^{2} }{ \cancel{b}} } \: = \: k \\ \\ \\ \sf \: \: \therefore \: \: k \: = \: \dfrac{ {a}^{2} \: - \: {b}^{2} }{ {a}^{2} \: + \: {b}^{2} }$



$\underline{\underline{\mathsf{\Large{Proved !! }}}}$

Answer 2

$\underline{\underline{\mathfrak{\Large{Solution : }}}}$



$\underline{\textsf{Given : }} \\ \\ \sf \implies tan \: \theta \: = \: \dfrac{a}{b} \\ \\ \underline{\textsf{To Prove :}} \\ \\ \sf \implies \dfrac{a \: sin \: \theta \: - \: b \: cos \: \theta}{a \: sin \: \theta \: + \: b \: cos \: \theta } \: = \: \dfrac{a^2 \: - \: b^2}{a^2 \: + \: b^2}$





$\underline{\textsf{Method 1 : }}$




$\underline{\textsf{Let,}} \\ \\ \sf \implies \dfrac{a \: sin \: \theta \: - \: b \: cos \: \theta}{a \: sin \: \theta \: + \: b \: cos \: \theta } \: = \: \dfrac{k}{1}$


$\textsf{Applying Componendo and Dividendo , } \\ \\ \\ \sf \implies \dfrac{(a \: sin \: \theta \: - \: b \: cos \: \theta) \: + \: (a \: sin \: \theta \: + \: b \: cos \: \theta )} {(a \: sin \: \theta \: - \: b \: cos \: \theta) \: - \: (a \: sin \: \theta \: + \: b \: cos \: \theta) } \: = \: \dfrac{k \: + \: 1 }{k \: - \: 1 } \\ \\ \\ \sf\implies \dfrac{a \: sin \: \theta \: - \: \cancel{b \: cos \: \theta }\: + \: a \: sin \: \theta \: + \: \cancel{b \: cos \: \theta} } { \cancel{a \: sin \: \theta }\: - \: b \: cos \: \theta \: - \: \cancel{a \: sin \: \theta} \: - \: b \: cos \: \theta} \: = \: \dfrac{k \: + \: 1 }{k \: - \: 1 } \\ \\ \sf \implies \: \dfrac{ \cancel{2}a \: sin \: \theta}{ - \cancel{2}b \: cos \: \theta} \: = \: \dfrac{k \: + \: 1}{ k \: - \: 1} \\ \\ \\ \sf \implies \dfrac{a}{ - b} tan \: \theta \: = \: \dfrac{k \: + \: 1}{k \: - \: 1}$



$\sf \implies \dfrac{a}{ - b} \: \times \: \dfrac{a}{b} \: = \: \dfrac{k \: + \: 1 }{k \: - \: 1 } \\ \\ \sf \implies \dfrac{a^2}{ - b^2} \: = \: \dfrac{k \: + \: 1}{k \: - \: 1 } \\ \\ \sf \implies a^2( k \: - \: 1 ) \: = \: - b^2(k \: + \: 1 ) \\ \\ \sf \implies a^2k \: - \: a^2 \: = \: - b^2 k \: - \: b^2 \\ \\ \sf \implies a^2k \: + \: b^2k \: = \: a^2 \: - \: b^2 \\ \\ \sf \implies k(a^2 \: + \: b^2) \: = \: a^2 \: - \: b^2 \\ \\ \sf \: \: \therefore \: \: k \: = \: \dfrac{a^2 \: - \: b^2}{a^2 \: + \: b^2} \\ \\ \underline{\underline{\mathsf{\Large{Proved !! }}}}$




$\underline{\textsf{Method 2 : }}$



$\underline{\textsf{Let,}} \\ \\ \sf \implies \dfrac{a \: sin \: \theta \: - \: b \: cos \: \theta}{a \: sin \: \theta \: + \: b \: cos \: \theta } \: = \: k$



$\sf Multiply \: the \: numerator \: and \: denominator \: \\ \sf of \: LHS \: by \: cos \: \theta .$



$\sf \implies \dfrac{ \: \: \: \: \: \: \dfrac{a \: sin \: \theta \: - \: b \: cos \: \theta}{cos \: \theta} \: \: \: \: \: \: }{ \dfrac{a \: sin \: \theta \: + \: b \: cos \: \theta }{cos \: \theta}} \: = \: k \\ \\ \\ \sf \implies \dfrac{ \: \: \: \: \: \: \dfrac{a \: sin \: \theta }{cos \: \theta}\: - \: b \cancel{\dfrac{cos \: \theta}{cos \: \theta}} \: \: \: \: \: \: }{ \dfrac{a \: sin \: \theta }{cos \: \theta}\: + \: b \cancel{\dfrac{ cos \: \theta }{cos \: \theta}}} \: = \: k$



$\sf \implies \dfrac{\quad a \: tan \: \theta \: - \: b }{a \: tan \: \theta \: + \: b} \: = \: k \\ \\ \\ \sf \implies \dfrac{a \: \times \: \dfrac{a}{b} \: - \: b }{ a \: \times \: \dfrac{a}{b} \: + \: b } \: = \: k \\ \\ \\ \sf \implies \dfrac{ \dfrac{ {a}^{2} }{ {b} } \: - \: b }{ \dfrac{ {a}^{2} }{b} \: + \: b } \: = \: k \\ \\ \\ \sf \implies \dfrac{ \dfrac{ {a}^{2} \: - \: {b}^{2} }{ \cancel{b}} }{ \dfrac{ {a}^{2} \: + \: {b}^{2} }{ \cancel{b}} } \: = \: k \\ \\ \\ \sf \: \: \therefore \: \: k \: = \: \dfrac{ {a}^{2} \: - \: {b}^{2} }{ {a}^{2} \: + \: {b}^{2} }$



$\underline{\underline{\mathsf{\Large{Proved !! }}}}$