Question

ao + a₁x+...+anx" = (x + 1)³(x+2)³... (x+672)³ determine a2 + a4+...+a2016.​

Answer 1

Answer:

a0 + a3 + a6 +... = (2n + 2*cos nπ/3)/3

Step-by-step explanation:

Given, (1 + x)n = a0 + a1 x + a2 x2 +... + an xn    -1

Put x = 1, we get

(1 + 1)n = a0 + a1 + a2 +... + an

⇒ 2n = a0 + a1 + a2 +... + an  ...2

Again, put x = -1, we get

(1 - 1)n = a0 - a1 + a2 -... + (-1)n an

⇒ 0 = a0 - a1 + a2 -... + (-1)n an...3

1. Now, add equation 2 and 3, we get

2n = (a0 + a1 + a2 +... + an ) + (a0 - a1 + a2 -... + (-1)n an )

⇒ 2n = a0 + a1 + a2 +... + an  + a0 - a1 + a2 -... + (-1)n an

⇒ 2n = 2(a0 + a2 +... + an )

⇒ 2n /2 = a0 + a2 +... + an

⇒ a0 + a2 +... + an = 2n-1

2. Again subtract equation 2 and 3 we get

2n = (a0 + a1 + a2 +... + an ) - (a0 - a1 + a2 -... + (-1)n an )

⇒ 2n = a0 + a1 + a2 +... + an  - a0 + a1 - a2 -... + (-1)n an

⇒ 2n = 2(a1 + a3 +... + an-1 )

⇒ 2n /2 = a1 + a3 +... + an-2

⇒ a1 + a3 +... + an-1 = 2n-1

3. Given, (1 + x)n = a0 + a1 x + a2 x2 +... + an xn     -1

Put x = 1, we get

(1 + 1)n = a0 + a1 + a2 +... + an

⇒ 2n = a0 + a1 + a2 +... + an     -2

Again, put x = w and x = w2 in equation 2, we get

(1 + w)n = a0 + a1 *w + a2 * w2 +... + an * wn

⇒ (1 + w)n = (a0 + a3...) + w(a1 + a4 +...) + w2 (a2 + a5 +...) +...    -3

and (1 + w2 )n = (a0 + a3...) + w2 (a1 + a4 +...) + w (a2 + a5 +...) +...    -4

Add equation 2, 3 and 4, we get

2n + (1 + w)n + (1 + w2 )n = 3(a0 + a3 + a6 +...)

⇒ 2n + (-w2 )n + (-w)n = 3(a0 + a3 + a6 +...), since 1 + w + w2 = 0 and w3 = 1  

⇒ 2n + {-(-1/2 - √3/2 )}n + {-(-1/2 + √3/2 )}n = 3(a0 + a3 + a6 +...), since w = (-1/2 + √3/2 ) and w2 = (-1/2 - √3/2 )

⇒ 2n + {-(-1/2 - √3/2 )}n + {1/2 - √3/2 )}n = 3(a0 + a3 + a6 +...)

⇒ 2n + {cos π/3 + i * sin π/3}n + {cos π/3 - i * sin π/3}n = 3(a0 + a3 + a6 +...)

⇒ 2n + cos nπ/3 + i * sin nπ/3 + cos nπ/3 - i * sin nπ/3 = 3(a0 + a3 + a6 +...)

⇒ 2n + 2*cos nπ/3 = 3(a0 + a3 + a6 +...)

⇒ a0 + a3 + a6 +... = (2n + 2*cos nπ/3)/3

-$Shahrin$ $Khan$