Question

at what points the slopes of the tangents to the curve y=x³/6-3x²/2+11x/2+12 increase ?​

Answer 1

$\textbf{Given:}$

$\textsf{Curve is}\;\mathsf{y=\dfrac{x^3}{6}-\dfrac{3x^2}{2}+\dfrac{11x}{2}+12}$

$\textbf{To find:}$

$\textsf{The points the slopes of the tangent to the curve increase}$

$\textbf{Solution:}$

$\mathsf{Consider,}$

$\mathsf{y=\dfrac{x^3}{6}-\dfrac{3x^2}{2}+\dfrac{11x}{2}+12}$

$\mathsf{Slope\;of\;tangent}$

$\mathsf{m=\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3x^2}{6}-\dfrac{6x}{2}+\dfrac{11}{2}}$

$\mathsf{m=\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{6x}{2}+\dfrac{11}{2}}$

$\mathsf{m=\dfrac{1}{2}[x^2-6x+11]}$

$\mathsf{Now,}$

$\mathsf{\dfrac{dm}{dx}=\dfrac{1}{2}[2x-6]=x-3}$

$\mathsf{\dfrac{dm}{dx}=0\implies\;x=3}$

$\mathsf{For\;x<3,\;\;\dfrac{dm}{dx}\,<\,0}$

$\therefore\mathsf{Slope\;m\;is\;decreasing\;in\;(-\infty,3)}$

$\mathsf{For\;x>3,\;\;\dfrac{dm}{dx}\,>\,0}$

$\therefore\mathsf{Slope\;m\;is\;increasing\;in\;(3,\infty)}$

$\textsf{when x=3,}$

$\mathsf{y=\dfrac{3^3}{6}-\dfrac{3(3)^2}{2}+\dfrac{11(3)}{2}+12}$

$\mathsf{y=\dfrac{9}{2}-\dfrac{27}{2}+\dfrac{33}{2}+12=\dfrac{9-27+33+24}{2}=\dfrac{39}{2}}$

$\therefore\mathsf{Slope\;of\;the\;curve\;increase\;at\;\left(3,\dfrac{39}{2}\right)}$