Question

बैसल असमिका कथन लिखकर सिद्ध कीजिए।
State and prove Bessel's inequality.
समद्विभाजन विधि से तीन पनरावति का उपयोग​

Answer 1

बैसल असमिका :

विवरण :

• गणित में, विशेष रूप से कार्यात्मक विश्लेषण, बेसेल की असमानता एक ऑर्थोनॉर्मल अनुक्रम के संबंध में एक हिल्बर्ट अंतरिक्ष में एक तत्व ${\displaystyle x}x$ के गुणांक के बारे में एक बयान है।
• असमानता एफडब्ल्यू बेसेल द्वारा 1828 में निकाली गई थी|

• मान लीजिए${\displaystyle H}H$ एक हिल्बर्ट स्पेस है, और मान लीजिए कि ${\displaystyle e_{1},e_{2},...}e_1, e_2, ... {\displaystyle H}H$ में एक ऑर्थोनॉर्मल सीक्वेंस है। फिर, किसी भी ${\displaystyle x}x$ के लिए  ${\displaystyle H}H$ में है |

           ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left\vert \left\langle x,e_{k}\right\rangle \right\vert ^{2}\leq \left\Vert x\right\Vert ^{2},}$

• जहां ⟨·,·⟩ हिल्बर्ट अंतरिक्ष में आंतरिक उत्पाद को दर्शाता है  ${\displaystyle H}H.[2][3][4]$ यदि हम अनंत योग को परिभाषित करते हैं |

        $\displaystyle x' = \sum_{k=1}^{\infty}\left\langle x,e_k\right\rangle e_k,$

• दिशा में सदिश संकल्प ${\displaystyle x}x$  के "अनंत योग" से युक्त ${\displaystyle e_{k}}e_{k}$, बेसेल की असमानता हमें बताती है कि यह श्रृंखला अभिसरण करती है।
• कोई इसके बारे में सोच सकता है कि ${\displaystyle x'\in H}x' \in H$ मौजूद है जिसे संभावित आधार के रूप में वर्णित किया जा सकता है |${\displaystyle e_{1},e_{2},\dots }{\displaystyle e_{1},e_{2},\dots }.$

• एक पूर्ण ऑर्थोनॉर्मल अनुक्रम के लिए (अर्थात, एक ऑर्थोनॉर्मल अनुक्रम के लिए जो एक आधार है), हमारे पास पारसेवल की पहचान है, जो असमानता को एक समानता से बदल देती है (और फलस्वरूप ${\displaystyle x'}x'$ साथ में ${\displaystyle x}x)$.

• बेसेल की असमानता पहचान से होती है: