B.Sc. THIRD YEAR EXAMINATION 2021
Maths-I
-I
M.M.:70
Note Attempt any five questions. Each questions carry equal marks.
Q1 सिद्ध कीजिए कि परिमेय संख्याओं को समुच्चय में समीकरण -2-5-0 का कोई हल
नहीं है।
Q2
सिद्ध कीजिए कि वास्तविक संख्याओं का समुच्चय R अगणनीय है
Q3 सिद्ध कीजिए कि किसी बिन्दु XER क्षेत्र परिमिक संख्यक प्रतिवेशों का सर्वनिष्ठ
बिन्दु । का एक प्रतिवेश है।
04 उन बिन्दुओं को प्राप्त कीजिए जहां प्रतिचित्रण (2)- 3z+2 नहीं है।
Q5
यदि दो सम्मिश्र संख्याओं का योग तथा गुणन दोनों वास्तविक है तब प्रदर्शित
कीजिए कि दोनों संख्याएं या तो वास्तविक हैं या संयुग्मी हैं।
Q6
समाकलन गणित की मूलभूत प्रमेय को सत्यापित कीजिए।
Q7
दिखाइये कि Jx 1-xydn अभिसारी होता हे यदि m>0 और n>0
सिद्ध कीजिए कि डोमेन के प्रत्येक बिन्दु z पर जहाँ f(2) वैश्लेषिक और f(2)50 है, प्रतिचित्रित
wafiz) कानफार्मल है।
09
यदि U-(x-11-3xyi+3y)V का मान प्राप्त कीजिए जब u+iv. x+ly एक वैश्लेशिक फलन है।
010 सिद्ध कीजिए कि विविक्त समष्टि में प्रत्येक समुच्चय विवृत एवं संवृत होता है।
Q8
Answers
Given : वास्तविक संख्याओं का समुच्चय R
Set of Real numbers
To Find : सिद्ध कीजिए कि वास्तविक संख्याओं का समुच्चय R अगणनीय है
Prove that Set of Real numbers is uncountable
Solution:
Assume that Set of Real numbers is countable
and arrange then in ascending order
R = { a₁ , a₂ , a₃ , _____, n₁ , n₂ ____ z₁ , z₂ }
Each number mentioned above representing a real numbers and arranged in ascending order
As we know that there exist at least a real number between 2 real numbers a , b is (a + b)/2
a < ( a + b) /2 < b if a < b
a > ( a + b)/2 > b if a > b
Hence there will exist a real number (z₁ + z₂ )/2
z₁ < (z₁ + z₂ )/2 < z₂
but as we have arranged numbers in ascending order
hence there can not exist any real number between z₁ and z₂
but (z₁ + z₂ )/2 lies between z₁ and z₂
Hence our assumption was wrong
Assumption that Set of Real numbers is countable is INCORRECT
hence Set of Real numbers is uncountable
वास्तविक संख्याओं का समुच्चय R अगणनीय है
QED
Hence proved
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वास्तविक संख्याओं का समुच्चय R अगणनीय है
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