Math, asked by Boonsai56, 1 year ago

Can we find out jordan form of every matrix

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Answered by CBSEMP
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hey dude I have answer in Hindi u need in English say me I edit my answer

रेखीय बीजगणित में, एक परिमित-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष पर एक रैखिक ऑपरेटर के एक जॉर्डन सामान्य रूप (अक्सर जॉर्डन कैननिकल फॉर्म कहा जाता है) में एक विशेष प्रकार के एक ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स होता है जिसे जॉर्डन मैट्रिक्स कहा जाता है, जो कुछ आधार के संबंध में ऑपरेटर का प्रतिनिधित्व करता है। । इस तरह के मैट्रिक्स में प्रत्येक विकिरण (सुपरडायनल पर) के ऊपर, और बाएं और नीचे के समान विकर्ण प्रविष्टियों के साथ, 1 के बराबर एक गैर-शून्य ऑफ-विकर्ण एंट्री है।

चलो एक क्षेत्र के कश्मीर पर एक वेक्टर स्पेस दें। फिर उस मैट्रिक्स के साथ एक आधार जो आवश्यक फार्म है, यदि और केवल अगर मैट्रिक्स के सभी eigenvalues ​​K में झूठ हों, या यदि ऑपरेटर की विशेषता बहुपद रैखिक में विभाजित हो के ऊपर कारक। यह स्थिति हमेशा संतुष्ट होती है यदि K को बीजगणितीय रूप से बंद किया जाता है (उदाहरण के लिए, यदि यह जटिल संख्याओं का क्षेत्र है)। सामान्य रूप की विकर्ण प्रविष्टियां, eigenvalues ​​(ऑपरेटर के) हैं, और प्रत्येक eigenvalue के समय की संख्या को eigenvalue की बीजीय बहुलता कहा जाता है। [2] [3] [4]

अगर ऑपरेटर मूल रूप से एक वर्ग मैट्रिक्स एम द्वारा दिया जाता है, तो इसके जॉर्डन सामान्य रूप को एम के जॉर्डन सामान्य रूप भी कहा जाता है। किसी भी वर्ग मैट्रिक्स के पास जॉर्डन सामान्य रूप है, यदि गुणांक के क्षेत्र में एक के सभी eigenvalues मैट्रिक्स। अपने नाम के बावजूद, किसी दिए गए एम के लिए सामान्य रूप बिल्कुल अनूठा नहीं है, क्योंकि यह एक ब्लॉक विकर्ण मैट्रिक्स है जोर्डन ब्लॉकों का गठन किया गया है, जिसके क्रम तय नहीं हैं; यह एक ही eigenvalue के लिए समूहों के ब्लॉक के लिए परंपरागत है, लेकिन eigenvalues ​​के बीच कोई आदेश नहीं लगाया है, न ही किसी दिए गए eigenvalue के लिए ब्लॉक में, हालांकि उत्तरार्द्ध उदाहरण के लिए कमजोर आकार कम करके आदेश दिया जा सकता है। [2] [3] [ 4]

जॉर्डन-चेवालली अपघटन विशेष रूप से एक आधार के लिए सरल है जिसके लिए ऑपरेटर ने जॉर्डन सामान्य रूप ले लिया है। विकर्णों के लिए विकर्ण रूप, उदाहरण के लिए सामान्य मैट्रिक्स, जोर्डन सामान्य रूप का एक विशेष प्रकार है। [5] [6] [7]

जॉर्डन सामान्य रूप का नाम कैमिली जॉर्डन के नाम पर है, जिसे पहले 1870 में जॉर्डन अपघटन प्रमेय कहा गया था। [8]
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