Question

Class : 9 ( Ninth )

Topic : Rationalisation of denominator

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Answer 1

$\large\underline{\sf{Solution-}}$

Given that,

$\red{\rm :\longmapsto\:x = \dfrac{1}{7 + 4 \sqrt{3} }}$

Multiply and Divide by conjugate of denominator, we get

$\:  \: \rm  =  \:  \: \dfrac{1}{7 + 4 \sqrt{3} } \times \dfrac{7 - 4 \sqrt{3} }{7 - 4 \sqrt{3} }$

$\:  \: \rm  =  \:  \: \dfrac{7 - 4 \sqrt{3} }{ {(7)}^{2} - {(4 \sqrt{3}) }^{2} }$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \sf \: \because \: (x + y)(x - y) = {x}^{2} - {y}^{2} }$

$\:  \: \rm  =  \:  \: \dfrac{7 - 4 \sqrt{3} }{49 - 48}$

$\:  \: \rm  =  \:  \: 7 - 4 \sqrt{3}$

$\: \: \: \: \: \: \: \red{ \boxed{\bf\implies \:x = 7 - 4 \sqrt{3}}}$

Also, Given that

$\green{\rm :\longmapsto\:y = \dfrac{1}{7 - 4 \sqrt{3} }}$

Multiply and Divide by conjugate of denominator, we get

$\:  \: \rm  =  \:  \: \dfrac{1}{7 - 4 \sqrt{3} } \times \dfrac{7 + 4 \sqrt{3} }{7 + 4 \sqrt{3} }$

$\:  \: \rm  =  \:  \: \dfrac{7 + 4 \sqrt{3} }{ {(7)}^{2} - {(4 \sqrt{3}) }^{2} }$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \sf \: \because \: (x + y)(x - y) = {x}^{2} - {y}^{2} }$

$\:  \: \rm  =  \:  \: \dfrac{7 + 4 \sqrt{3} }{49 - 48}$

$\:  \: \rm  =  \:  \: 7 + 4 \sqrt{3}$

$\: \: \: \: \: \: \: \green{ \boxed{\bf\implies \:y = 7 + 4 \sqrt{3}}}$

Consider,

$\red{\rm :\longmapsto\:xy}$

$\:  \: \rm  =  \:  \: (7 + 4 \sqrt{3})(7 - 4 \sqrt{3})$

$\:  \: \rm  =  \:  \: {(7)}^{2} - {(4 \sqrt{3}) }^{2}$

$\:  \: \rm  =  \:  \: 49 - 48$

$\:  \: \rm  =  \:  \: 1$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \red{ \boxed{\bf\implies \:xy = 1}}$

Consider,

$\blue{\bf :\longmapsto\:x + y}$

$\:  \: \rm  =  \:  \: 7 + 4 \sqrt{3} + 7 - 4 \sqrt{3}$

$\:  \: \rm  =  \:  \: 14$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \blue{ \boxed{\bf\implies \:x + y = 14}}$

Now, we have to find the value of

$\green{\bf :\longmapsto\: {x}^{3} + {y}^{3} }$

$\:  \: \rm  =  \:  \: {(x + y)}^{3} - 3xy(x + y)$

$\:  \: \rm  =  \:  \: {14}^{3} - 3 \times 1 \times 14$

[ using above values of x + y = 14 and xy = 1 ]

$\:  \: \rm  =  \:  \: 2744 - 42$

$\:  \: \rm  =  \:  \: 2702$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \green{ \boxed{\bf\implies \: {x}^{3} + {y}^{3} = 2704}}$

Additional Information :-

More Identities to know:

• (a + b)² = a² + 2ab + b²

• (a - b)² = a² - 2ab + b²

• a² - b² = (a + b)(a - b)

• (a + b)² = (a - b)² + 4ab

• (a - b)² = (a + b)² - 4ab

• (a + b)² + (a - b)² = 2(a² + b²)

• (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)

• (a - b)³ = a³ - b³ - 3ab(a - b)

Answer 2

Step-by-step explanation:

$\large\underline{\sf{Solution-}}$

Given that,

$\red{\rm :\longmapsto\:x = \dfrac{1}{7 + 4 \sqrt{3} }}$

Multiply and Divide by conjugate of denominator, we get

$\:  \: \rm  =  \:  \: \dfrac{1}{7 + 4 \sqrt{3} } \times \dfrac{7 - 4 \sqrt{3} }{7 - 4 \sqrt{3} }$

$\:  \: \rm  =  \:  \: \dfrac{7 - 4 \sqrt{3} }{ {(7)}^{2} - {(4 \sqrt{3}) }^{2} }$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \sf \: \because \: (x + y)(x - y) = {x}^{2} - {y}^{2} }$

$\:  \: \rm  =  \:  \: \dfrac{7 - 4 \sqrt{3} }{49 - 48}$

$\:  \: \rm  =  \:  \: 7 - 4 \sqrt{3}$

$\: \: \: \: \: \: \: \red{ \boxed{\bf\implies \:x = 7 - 4 \sqrt{3}}}$

Also, Given that

$\green{\rm :\longmapsto\:y = \dfrac{1}{7 - 4 \sqrt{3} }}$

Multiply and Divide by conjugate of denominator, we get

$\:  \: \rm  =  \:  \: \dfrac{1}{7 - 4 \sqrt{3} } \times \dfrac{7 + 4 \sqrt{3} }{7 + 4 \sqrt{3} }$

$\:  \: \rm  =  \:  \: \dfrac{7 + 4 \sqrt{3} }{ {(7)}^{2} - {(4 \sqrt{3}) }^{2} }$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \sf \: \because \: (x + y)(x - y) = {x}^{2} - {y}^{2} }$

$\:  \: \rm  =  \:  \: \dfrac{7 + 4 \sqrt{3} }{49 - 48}$

$\:  \: \rm  =  \:  \: 7 + 4 \sqrt{3}$

$\: \: \: \: \: \: \: \green{ \boxed{\bf\implies \:y = 7 + 4 \sqrt{3}}}$

Consider,

$\red{\rm :\longmapsto\:xy}$

$\:  \: \rm  =  \:  \: (7 + 4 \sqrt{3})(7 - 4 \sqrt{3})$

$\:  \: \rm  =  \:  \: {(7)}^{2} - {(4 \sqrt{3}) }^{2}$

$\:  \: \rm  =  \:  \: 49 - 48$

$\:  \: \rm  =  \:  \: 1$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \red{ \boxed{\bf\implies \:xy = 1}}$

Consider,

$\blue{\bf :\longmapsto\:x + y}$

$\:  \: \rm  =  \:  \: 7 + 4 \sqrt{3} + 7 - 4 \sqrt{3}$

$\:  \: \rm  =  \:  \: 14$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \blue{ \boxed{\bf\implies \:x + y = 14}}$

Now, we have to find the value of

$\green{\bf :\longmapsto\: {x}^{3} + {y}^{3} }$

$\:  \: \rm  =  \:  \: {(x + y)}^{3} - 3xy(x + y)$

$\:  \: \rm  =  \:  \: {14}^{3} - 3 \times 1 \times 14$

[ using above values of x + y = 14 and xy = 1 ]

$\:  \: \rm  =  \:  \: 2744 - 42$

$\:  \: \rm  =  \:  \: 2702$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \green{ \boxed{\bf\implies \: {x}^{3} + {y}^{3} = 2704}}$

Additional Information :-

More Identities to know:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a - b)² = a² - 2ab + b²

a² - b² = (a + b)(a - b)

(a + b)² = (a - b)² + 4ab

(a - b)² = (a + b)² - 4ab

(a + b)² + (a - b)² = 2(a² + b²)

(a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)

(a - b)³ = a³ - b³ - 3ab(a - b)