Question

cos^3a-cos3a/cos a + sin^3a
+sin3a /sina=3 prove

Answer 1

$\underline{\textbf{To prove:}}$

$\mathsf{\dfrac{cos^3A-cos\,3A}{cos\,A}+\dfrac{sin^3A+sin\,3A}{sin\,A}=3}$

$\underline{\textbf{Solution:}}$

$\underline{\textbf{Identities used:}}$

$\mathsf{sin\,3\theta=3\,sin\,\theta-4\,sin^3\theta}$

$\mathsf{cos\,3\theta=4\,cos^3\theta-3\,cos\,\theta}$

$\mathsf{Consider,}$

$\mathsf{\dfrac{cos^3A-cos\,3A}{cos\,A}+\dfrac{sin^3A+sin\,3A}{sin\,A}}$

$\textsf{Using the above identities, we get}$

$\mathsf{=\dfrac{cos^3A-(4\,cos^3A-3\,cos\,A)}{cos\,A}+\dfrac{sin^3A+(3\,sin\,A-4\,sin^3A)}{sin\,A}}$

$\mathsf{=\dfrac{cos^3A-4\,cos^3A+3\,cos\,A}{cos\,A}+\dfrac{sin^3A+3\,sin\,A-4\,sin^3A}{sin\,A}}$

$\mathsf{=\dfrac{-3\,cos^3A+3\,cos\,A}{cos\,A}+\dfrac{3\,sin\,A-3\,sin^3A}{sin\,A}}$

$\mathsf{=-3\,cos^2A+3+3-3\,sin^2A}$

$\mathsf{=6-3\,cos^2A-3\,sin^2A}$

$\mathsf{=6-3(cos^2A+sin^2A)}\;\;\;\;\mathsf{(\because\,sin^2\theta+cos^2\theta=1)}$

$\mathsf{=6-3(1)}$

$\mathsf{=6-3}$

$\mathsf{=3}$

$\implies\boxed{\mathsf{\dfrac{cos^3A-cos\,3A}{cos\,A}+\dfrac{sin^3A+sin\,3A}{sin\,A}=3}}$