Question

COS A
Prove That
sin2 A
+
= sin A+cos A
1-tan A sin A-COS A​

Answer 1

Answer:

$\dashrightarrow\:\:\bf \dfrac{Cos \: A}{1 - Tan \: A} + \dfrac{sin^{2} \: A}{Sin \: A - Cos \: A} = (Cos \: A + Sin \: A)$

Formulae need to know :

• ${\boxed{\sf{TanA = \dfrac{SinA}{CosA}}}}$

• ${\boxed{\sf{1 - Sin^{2}A = Cos^{2}A}}}$

Solution :

$\dashrightarrow\:\:\sf \dfrac{Cos \: A}{1 - Tan \: A} + \dfrac{sin^{2} \: A}{Sin \: A - Cos \: A}$

$\dashrightarrow\:\:\sf \dfrac{Cos \: A}{1 - \dfrac{Sin \: A}{Cos \: A}} + \dfrac{sin^{2} \: A}{Sin \: A - Cos \: A}$

$\dashrightarrow\:\:\sf \dfrac{Cos \: A}{\dfrac{Cos \: A - Sin \: A}{Cos \: A}} + \dfrac{sin^{2} \: A}{Sin \: A - Cos \: A}$

$\dashrightarrow\:\:\sf \dfrac{Cos^{2} \: A}{Cos \: A - Sin \: A} + \dfrac{sin^{2} \: A}{Sin \: A - Cos \: A}$

$\dashrightarrow\:\:\sf \dfrac{Cos^{2} \: A}{Cos \: A - Sin \: A} - \dfrac{sin^{2} \: A}{Cos \: A - Sin \: A}$

$\dashrightarrow\:\:\sf \dfrac{Cos^{2} \: A - Sin^{2} \: A}{Cos \: A - Sin \: A}$

$\dashrightarrow\:\:\sf \dfrac{(Cos \: A + Sin \: A) (Cos \: A - Sin \: A)}{Cos \: A - Sin \: A}$

$\sf \longrightarrow \: \dfrac{(Cos \: A + Sin \: A) {\cancel(Cos \: A - Sin \: A)}^{ \: \: 1} }{ {\cancel(Cos \: A - Sin \: A)}^{ \: \: } }$

$\dashrightarrow\:\:\sf \dfrac{(Cos \: A + Sin \: A) (Cos \: A - Sin \: A)}{Cos \: A - Sin \: A} = (Cos \: A + Sin \: A)$

L.H.S = R.H.S

Hence,

Proved !!

${\boxed{\bf{Verified !}}}$

Answer 2

Given : $\longmapsto \:\:\bf \dfrac{Cos \: A}{1 - Tan \: A} + \dfrac{Sin^{2} \: A}{Sin \: A - Cos \: A} = (Cos \: A + Sin \: A)$

Exigency To Prove : $\longmapsto \:\:\sf \dfrac{Cos \: A}{1 - Tan \: A} + \dfrac{Sin^{2} \: A}{Sin \: A - Cos \: A} = (Cos \: A + Sin \: A)$

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$\dag\:\: \:\:\bf \dfrac{Cos \: A}{1 - Tan \: A} + \dfrac{sin^{2} \: A}{Sin \: A - Cos \: A} = (Cos \: A + Sin \: A)$

Here ,

• $\bf{L.H.S} \:\:\sf \dfrac{Cos \: A}{1 - Tan \: A} + \dfrac{Sin^{2} \: A}{Sin \: A - Cos \: A}$
• $\bf{R.H.S} \:\:\sf Cos \: A + Sin \: A$

⠀⠀⠀⠀⠀⠀$\underline {\frak{\star\:Now \: By \:Solving \: the \: L.H.S\: \::}}$

$\bf{L.H.S} \:=\:\sf \dfrac{Cos \: A}{1 - Tan \: A} + \dfrac{Sin^{2} \: A}{Sin \: A - Cos \: A}$

$\qquad:\implies \:=\:\sf \dfrac{Cos \: A}{1 - Tan \: A} + \dfrac{Sin^{2} \: A}{Sin \: A - Cos \: A}$

$\dag\:\it{As,\:We\:know\:that\::}$

• $tan A = \dfrac{Sin A }{Cos A}$

$\qquad:\implies \:\:\sf \dfrac{Cos \: A}{1 - \purple {Tan \: A}} + \dfrac{Sin^{2} \: A}{Sin \: A - Cos \: A}$

$\qquad:\implies \:\:\sf \dfrac{Cos \: A}{1 - \purple {\dfrac{SinA}{Cos \: A}}} + \dfrac{Sin^{2} \: A}{Sin \: A - Cos \: A}$

$\qquad:\implies \:\:\sf \dfrac{Cos \: A}{1 - \dfrac{SinA}{Cos \: A}} + \dfrac{Sin^{2} \: A}{Sin \: A - Cos \: A}$

$\qquad:\implies \:\:\sf \dfrac{Cos \: A}{ \dfrac{CosA-SinA}{Cos \: A}} + \dfrac{Sin^{2} \: A}{Sin \: A - Cos \: A}$

$\qquad:\implies \:\:\sf \dfrac{Cos \: A\times Cos A}{ CosA-SinA} + \dfrac{Sin^{2} \: A}{Sin \: A - Cos \: A}$

$\qquad:\implies \:\:\sf \dfrac{Cos ^2\: A}{ CosA-SinA} + \dfrac{Sin^{2} \: A}{Sin \: A - Cos \: A}$

$\qquad:\implies \:\:\sf \dfrac{Cos ^2\: A}{ CosA-SinA} + \dfrac{Sin^{2} \: A}{Sin \: A - Cos \: A}$

$\qquad:\implies \:\:\sf \dfrac{Cos ^2\: A}{ CosA-SinA} - \dfrac{Sin^{2} \: A}{Sin \: A - Cos \: A}$

$\qquad:\implies \:\:\sf \dfrac{Cos ^2\: A- Sin^2 A }{ CosA-SinA}$

$\dag\:\it{As,\:We\:know\:that\::}$

• a² - b² = (a + b) (a - b)

$\qquad:\implies \:\:\sf \dfrac{(Cos\: A+ Sin A)(CosA - Sin A ) }{ (CosA-SinA)}$

$\qquad:\implies \:\:\sf \dfrac{(Cos\: A+ Sin A)\cancel{(CosA - Sin A )} }{ \cancel{(CosA-SinA)}}$

$\qquad:\implies \:\bf{L.H.S}\:\bf (Cos\: A+ Sin A)$

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Therefore,

• $\bf{L.H.S} \:=\:\sf Cos \: A + Sin \: A$

• $\bf{R.H.S} \:=\:\sf Cos \: A + Sin \: A$

As , We can see that ,

• $\bf{\underline { L.H.S = R.H.S }}$

⠀⠀⠀⠀⠀$\therefore {\underline {\bf{ Hence, \:Proved! \:}}}$

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