Question

Cos θ Cosec θ− Sin θ Sec θ / Cos θ + Sin θ= Cosec θ − Sec θ​

Answer 1

TO PROVE :–

$\\ \: \: \: { \rm{ \dfrac{ \cos( \theta).cosec( \theta) - \sin( \theta) .\sec( \theta) }{ \cos( \theta) + \sin( \theta) } = cosec( \theta) - \sec( \theta) }}$

SOLUTION :–

• Let's take L.H.S. –

$\\ \: \: \: { \rm{ = \dfrac{ \cos( \theta).cosec( \theta) - \sin( \theta) .\sec( \theta) }{ \cos( \theta) + \sin( \theta) } }}$

• We know that –

$\\ \: \: \: \longrightarrow \: \: { \boxed { \rm{ \sec( \theta) = \dfrac{1}{ \cos( \theta) } \: \: and \: \: cosec( \theta) = \dfrac{1}{ \sin( \theta) } }}}$

• So that –

$\\ \: \: \: { \rm{ = \dfrac{ \cos( \theta) \left( \dfrac{1}{ \sin( \theta) } \right) - \sin( \theta) .\left( \dfrac{1}{ \cos( \theta) } \right) }{ \cos( \theta) + \sin( \theta) } }}$

$\\ \: \: \: { \rm{ = \dfrac{\left[ \dfrac{ \cos( \theta) }{ \sin( \theta) } \right] - \left[ \dfrac{ \sin( \theta) }{ \cos( \theta) } \right] }{ \cos( \theta) + \sin( \theta) } }}$

$\\ \: \: \: { \rm{ = \dfrac{\left[ \dfrac{ \cos {}^{2} ( \theta) - \sin {}^{2} ( \theta) }{ \sin( \theta). \cos( \theta) } \right] }{ \cos( \theta) + \sin( \theta) } }}$

$\\ \: \: \: { \rm{ = \dfrac{\left[ \dfrac{ \{ \cos ( \theta) - \sin ( \theta) \} \{\cos ( \theta) + \sin ( \theta) \}}{ \sin( \theta). \cos( \theta) } \right] }{ \cos( \theta) + \sin( \theta) } \: \: \: \: [ \: \: \because \: \: {a}^{2} - {b}^{2} = (a + b)(a - b) ] }}$

$\\ \: \: \: { \rm{ = \dfrac{\left[ \dfrac{ \{ \cos ( \theta) - \sin ( \theta) \} {\cancel{ \{ \cos( \theta) + \sin( \theta) \}}}}{ \sin( \theta). \cos( \theta) } \right] } { {\cancel{ \{ \cos( \theta) + \sin( \theta) \}}}} }}$

$\\ \: \: \: { \rm{ = \left[ \frac{ \cos( \theta) - \sin( \theta) }{ \sin( \theta). \cos( \theta) } \right] }}$

$\\ \: \: \: { \rm{ = \left[ \frac{ \cos( \theta) }{ \sin( \theta). \cos( \theta) } -\frac{ \sin( \theta) }{ \sin( \theta). \cos( \theta) } \right] }}$

$\\ \: \: \: { \rm{ = \left[ \frac{ 1 }{ \sin( \theta) } -\frac{ 1 }{ \cos( \theta) } \right] }}$

$\\ \: \: \: { \rm{ = cosec( \theta) - \sec( \theta) }}$

$\\ \: \: \: { \rm{ = R.H.S. \: \: \: \: \: \: \: (Hence \: \: proved) }}$

$\\ \rule{220}{2}$