Question

cos cube Alpha into cos 3 alpha + sin cube Alpha into sin 3 Alpha equal to cos cube 2 alpha​

Answer 1

AnswEr :

• To Prove :

cos³α.cos 3α + sin³α.sin 3α = cos³2α

• Proof :

⇒ cos³α.cos 3α + sin³α.sin 3α

⇒ cos²α.cosα.cos 3α + sin²α.sinα.sin 3α

⇒ cos²α (cos α.cos 3α) + sin²α (sin α.sin 3α)

• cos²α = 1 - sin²α
• sin²α = 1 - cos²α

⇒ (1-sin²α)(cosα.cos 3α) + (1-cos²α)(sinα.sin 3α)

⇒ (cos α.cos 3α - sin²α.cosα.cos 3α) + (sinα.sin 3α - cos²α.sinα.sin 3α)

⇒ cos α.cos 3α + sinα.sin 3α - sin²α.cosα.cos 3α - cos²α.sinα.sin 3α

⇒ cosα.cos 3α + sinα.sin 3α - sinα.cosα(sinα.cos 3α + sin 3α.cosα)

• sinα.cos3α + sin3α.cosα = sin(α + 3α)
• cosα.cos3α + sinα.sin3α = cos(3α - α)

⇒ cos 2α - sinα.cosα(sin 4α)

• sin 4α = 2 × sin 2α.cos 2α
• 2 × sinα.cosα = sin 2α

⇒ cos 2α - sinα.cosα(2 × sin 2α.cos 2α)

⇒ cos 2α - 2 × sinα.cosα(sin 2α.cos 2α)

⇒ cos 2α - sin 2α.sin 2α.cos 2A

⇒ cos 2α (1 - sin²α)

• (1 - sin²α) = cos²α

⇒ cos 2α × cos²α

⇒ cos³2α