Question

cos1+cos2+cos3..........+cos179+cos180

Answer 1

cos1° = -cos(180° - 1°) = -cos179°   ⇒  cos1° + cos179° = 0
cos2° = -cos(180° - 2°) = -cos178°   ⇒  cos2° + cos178° = 0
...
cos89° = -cos(180° - 89°) = -cos91° ⇒  cos89° + cos91° = 0
cos1° + ... + cos89° + cos91° + ... + cos179° = 0
cos90° = 0
cos180° = -1

So:
cos1° + cos2° + ... + cos179° + cos180° = -1