Question

cosec²theta/cosec theta-1-cosec²thera/Cosec theta +1=2sec²theta​

Answer 1

$\\ \ \bigstar \: \underline{ \underline{ \rm \large{Solution :- }}}$

$\\\sf \: \: \ \dfrac{ \cosec^{2} \theta}{ \cosec \theta - 1} - \dfrac{ \cosec \theta}{\cosec \theta + 1}$

$\\\: \: \sf \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \implies \: \: \: \: \: \cosec^{2} \theta \bigg[ \dfrac{ 1 }{ \cosec \theta - 1} - \dfrac{ 1}{\cosec \theta + 1} \bigg]$

$\\ \: \: \sf \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \implies \: \: \: \: \: \cosec^{2} \theta \bigg[ \dfrac{ 1 }{ \dfrac{1}{ \sin \theta } - 1} - \dfrac{ 1}{\dfrac{1}{ \sin \theta } + 1 } \bigg]$

$\\ \: \: \sf \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \implies \: \: \: \: \: \cosec^{2} \theta \bigg[ \dfrac{ \sin \theta }{{ \sin \theta } - 1} - \dfrac{ \sin \theta}{{ \sin \theta } + 1 } \bigg]$

$\\\: \: \sf \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \implies \: \: \: \: \: \dfrac{1 \times \sin \theta}{ { \sin}^{2} \theta} \bigg[ \dfrac{ (1 + \sin \theta) - (1 - \sin \theta) }{(1 - \sin \theta)(1 + \sin \theta)} \bigg]$

$\\\: \: \sf \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \implies \: \: \: \: \: \dfrac{1 }{ { \sin} \theta} \bigg[ \dfrac{ 2 \sin \theta }{(1 - \sin ^{2} \theta)} \bigg]$

$\\\: \: \sf \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \implies \: \: \: \: \: \dfrac{1 }{ { \cancel{\sin} \theta}} \times \dfrac{ 2 \cancel{\sin \theta} }{(1 - \sin ^{2} \theta)}$

$\\ \: \: \sf \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \implies \: \: \: \: \: {1 }{ } \times \dfrac{ 2 }{(1 - \sin ^{2} \theta)}$

$\\ \: \: \sf \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \implies \: \: \: \: \: \dfrac{ 2 }{ \cos ^{2} \theta}$

$\\ \: \: \sf \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \implies \: \: \: \: \: 2 \times \dfrac{ 1 }{ \cos ^{2} \theta}$

$\\ \: \: \sf \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \implies \: \: \: \: \: 2 \sec^{2} \theta$