Question

(cot A - cosec A )² = 1- cos A/ 1+ cos A

Answer 1

⠀⌬⠀Prove that :

$\qquad \qquad \bigstar \:\sf \dfrac{ \:1\: - \:Cos \: A\:}{\:1\:+\:Cos\:A\:} \:=\: \:\big( \:Cot\:A \:-\:Cosec\:A \:\big)\:$

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$\qquad \dashrightarrow \sf \dfrac{ \:1\: - \:Cos \: A\:}{\:1\:+\:Cos\:A\:} \:=\: \:\big( \:Cot\:A \:-\:Cosec\:A \:\big)\:$

$\qquad \bigstar \:\:\underline {\pmb{\purple {\sf \:By \:\:Taking\:\:L.H.S \:\:\::}}}$

$\qquad \dashrightarrow \sf \dfrac{ \:1\: - \:Cos \: A\:}{\:1\:+\:Cos\:A\:} \:\:$

$\qquad \dashrightarrow \sf \Bigg( \dfrac{ \:\big\{\:1\: - \:Cos \: A\:\big\}\:\: \:\:\big\{\:1\:-\:Cos \: A\:\big\}\:}{\:\:\:\big\{\:1\:+\:Cos \: A\:\big\}\:\:\:\big\{\:1\:-\:Cos \: A\:\big\}\:\:} \Bigg)\:\:$

$\qquad \dashrightarrow \sf \Bigg( \dfrac{ \:\big\{\:1\: - \:Cos \: A\:\big\}\:\: \:\:\big\{\:1\:-\:Cos \: A\:\big\}\:}{\:\:\:\big\{\:1\:+\:Cos \: A\:\big\}\:\:\:\big\{\:1\:-\:Cos \: A\:\big\}\:\:} \Bigg)\:\:\qquad$

$\qquad \dashrightarrow \sf \Bigg( \dfrac{ \:\:\:\big\{\:1\:-\:Cos \: A\:\big\}^2\:}{\:\:\:\big\{\:1\:-\:Cos^2 \: A\:\big\}\:\:\:\:} \Bigg)\:\:\qquad \:\because \:\bigg\lgroup \sf{ ( a^2 - b^2 )\:=\: ( a + b ) \:( a - b) }\bigg\rgroup$

$\qquad \dashrightarrow \sf \Bigg( \dfrac{ \:\:\:\big\{\:1\:-\:Cos \: A\:\big\}^2\:}{\:\:\:\big\{\:1\:-\:Cos^2 \: A\:\big\}\:\:\:\:} \Bigg)\:$

$\qquad \dashrightarrow \sf \Bigg( \dfrac{ \:\:\:\big\{\:1\:-\:Cos \: A\:\big\}^2\:}{\:\:\:\big\{\:\:Sin^2 \: A\:\big\}\:\:\:\:} \Bigg)\:\: \qquad \:\because \:\bigg\lgroup \sf{ \:1\:-\:Cos^2 \: A\:=\:sin^2\:A }\bigg\rgroup$

$\qquad \dashrightarrow \sf \Bigg( \dfrac{ \:\:\:\big\{\:1\:-\:Cos \: A\:\big\}^2\:}{\:\:\:\big\{\:\:Sin^2 \: A\:\big\}\:\:\:\:} \Bigg)\:$

$\qquad \dashrightarrow \sf \Bigg(\dfrac{ \:1\:}{\:\:Sin \: A\:\:}\:+\:\dfrac{ \:Cos\:A \:}{\:\:Sin \: A\:\:}\:\Bigg)$

$\qquad \dashrightarrow \sf \Bigg( Cosec\:A\:+\:\dfrac{ \:Cos\:A \:}{\:\:Sin \: A\:\:}\:\Bigg)^2\:\qquad \:\because \:\bigg\lgroup \sf{ \:\dfrac{1\:}{Sin\:A} \:=\:Cosec\:A }\bigg\rgroup$

$\qquad \dashrightarrow \sf \big( Cosec\:A\:+\:Cot\:A\:\big)^2\:\qquad \:\because \:\bigg\lgroup \sf{ \:\dfrac{Cos\:A\:}{Sin\:A} \:=\:Cot\:A }\bigg\rgroup$

$\qquad \dashrightarrow \pmb{\purple {\sf \big( Cosec\:A\:+\:Cot\:A\:\big)^2\:=\:\big( Cosec\:A\:+\:Cot\:A\:\big)^2\:}}\:\:\bigstar$

$\qquad \qquad \underline {\pmb{\bf {\pink{ \:Hence \:Verified \:..\:!!\:}}}}$